计算可分离状态的系数

Question

给出可分离的2比特位状态

φ=φ ₀ ⊗φ ₁

带

φ _i = a _i0 | 0＆gt; + a _i1 | 1＆gt;

φ因此可以写成

φ= b ₀₀ | 00> + b ₀₁ | 01＆gt; + b ₁₀ | 10＆gt; + b ₁₁ | 11＆gt;

带

b _ij = a _0i a _1j 。

现在让一些b _ij 给出，即任意2-qubit状态

φ= b ₀₀ | 00> + b ₀₁ | 01＆gt; + b ₁₀ | 10＆gt; + b ₁₁ | 11＆gt;

设B =（b _ij ）。通过Schmidt decomposition，有2x2矩阵U，V，Σ，这样

• U，V unitary

• Σsunlysemidefinite diagonal

• B = U∘∘∘V *

设σ ₀ ，σ ₁ 是Σ的两个对角元素。

状态φ= b ₀₀ | 00> + b ₀₁ | 01＆gt; + b ₁₀ | 10＆gt; + b ₁₁ | 11＆gt;当且仅当σ ₀ +σ ₁ ＆gt;时才被纠缠。 1。

问题

给定状态φ= b ₀₀ | 00> + b ₀₁ | 01＆gt; + b ₁₀ | 10＆gt; + b ₁₁ | 11＆gt;并且其施密特分解B = U∘Σ∘V*，使得σ ₀ +σ ₁ ≤1，即该状态是可分离的。这意味着存在φ _i = a _i0 | 0＆gt; + a _i1 | 1＆gt;，使得φ可以写为

φ=φ ₀ ⊗φ ₁

  

如何从B =（b _ij ）计算A =（a _ij ），即从U，V，Σ？

这与

相反

b _ij = a _0i a _1j

假设b _ij 定义了一个可分离的状态。

Answer 1

如果给你一个纯粹的状态并承诺它是可分离的，那么你不需要 Schmidt分解来计算部分。只需将幅度放在网格中，读取一部分列之间的比例，然后读取另一部分的行之间的比例。

也就是说，2比特的系统φ是可分离的，因此φ=αβ的说法保证了φ60/φ01=φ10/φ11=β0/β1，而φ00/φ10=φ01/φ11=α0/α1。并且知道α0/α1足以求解α，除了全局相位因子。 （注意：如果α1可能为零，则用比例α0：α1代替比率α0/α1。）

这推广到具有更多量子比特的系统。给定的量子比特子集是可分的，当且仅当所有其他量子比特的分组为您提供了一系列具有相同比例的部分。除了全局相位因子之外，各部分之间的比例限制了所有内容。

使用施密特分解作为捷径

Schmidt分解确实使这更容易。它完成了所有艰难的“重建比例”工作。如果纯系统是可分离的，那么它的SVD分解应该只有一个非零奇异值，并且奇异值应该等于1.所以你有类似的东西：

  |1 0 0 ...|
U |0 0 0 ...| V
  |0 0 0 ...|
  |... . ...|

但这只是将U的第一列乘以V的第一行！因此，我们有一个系统，其中n * m个条目是从具有n个条目的系统和具有m个条目的系统创建的... Yup，第一列和第一行包含α和β的幅度。

示例

我的电路仿真器Quirk具有内置的在线幅度显示器，可以执行这种分离（无需进行SVD​​）。你可以see the code that does it on github，虽然它都是基于GPU的，所以不是特别清楚。

（这是迄今为止最复杂的显示器，因为它必须进行分组然后比较所有组。但是某些组可能没有振幅因此它们必须被忽略，并且系统中可能存在噪声从浮动错误中你应该专注于大群体...... blergh。）

您也可以在模拟器中玩它。 Here's an example circuit using those displays：

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