查找树的每个节点下的叶子数

Question

我有一棵树，其格式如下：

• 节点是树中节点的列表，其高度从顶部开始。高度为0的节点是节点的第一个元素。高度为1的节点（从左到右读取）是节点的下一个元素，依此类推。

• n_children是一个整数列表，这样n_children [i] =节点的子节点[i]

例如，给定像{1：{2,3：{4,5,2}}}这样的树，节点= [1,2,3,4,5,2]，n_children = [2,0， 3,0,0,0]。

给定一个树，是否可以通过仅遍历树一次生成节点和n_children以及节点中每个节点对应的叶数？

这种表现形式是独一无二的吗？或者两个不同的树可能具有相同的表示形式吗？

Answer 1

对于第一个问题 - 在给定树的情况下创建表示法：

我假设一个特定的树＆＃34;我们指的是以节点对象的形式给出的树，每个树都保存其值以及对其子节点对象的引用列表。

我提出这个算法：

1. 从node=root开始。
2. 如果node.children为空，则返回{values_list:[[node.value]], children_list:[[0]]}

3. 否则：

   3.1。构建两个列表。一个将被称为values_list，每个元素都应该是一个值列表。另一个将被称为children_list，每个元素都应该是一个整数列表。这两个列表中的每个元素将表示以node开头的子树中的级别，包括node本身（将在步骤3.3中添加）。

   因此values_list[1]将成为node子节点的值列表，values_list[2]将成为node的孙子节点的值列表。 values_list[1][0]将是node最左边的子节点的值。 values_list[0]将是仅包含一个元素的列表values_list[0][0]，它将是node的值。

   3.2。对于node的每个子节点（我们通过node.children引用它们）：

   3.2.1。从（2.）开始，将子节点设置为node，并将返回的结果（当函数返回时）分配回child_values_list和child_children_list。

   3.2.2。如果i中已有列表，则列表中的每个索引values_list[i]（它们的长度相同） - 将child_values_list[i]连接到values_list[i]并连接child_children_list[i]到children_list[i]。否则请指定values_list[i]=child_values_list[i]和children_list[i]=child.children.list[i]（这将是推送 - 添加到列表的末尾）。

   3.3。将node.value作为新列表的唯一元素，并将该列表添加到values_list的开头。将node.children.length作为新列表的唯一元素，并将该列表添加到children_list的开头。

   3.4。返回values_list和children_list

4. 当上面的values_list和children_list返回node=root时（来自步骤（1）），我们需要做的就是连接列表的元素（因为它们是列表，每个列表都有一个特定级别的树）。连接list-elements后，生成的values_list_concatenated和children_list_concatenated将成为想要的代表。

在上面的算法中，我们只通过开始步骤（2）访问节点，并将其设置为node，我们只对我们访问的节点的每个子节点执行一次。我们从根节点开始，每个节点只有一个父=>每个节点只访问一次。

对于与每个节点关联的叶子数量：（如果我理解正确 - 子树中节点是其根的叶子数量），我们可以添加另一个列表生成并返回：leaves_list。 在止损案例中（没有孩子到node - 步骤（2）），我们将返回leaves_list:[[1]]。在步骤（3.2.2）中，我们将连接列表元素，如其他两个列表＆＃39;列表元素。在步骤（3.3）中，我们将对第一个列表元素leaves_list[0]求和，并将该总和作为我们将添加到leaves_list开头的新列表中的唯一元素。 （类似于leaves_list.add_to_eginning([leaves_list[0].sum()])）

对于第二个问题 - 这个表示是唯一的：

为了证明唯一性，我们实际上想要表明函数（让我们称之为rep用于＆＃34;表示＆＃34;）保留了树空间的独特性。即它是injection。正如您在wiki链接中所看到的那样，只需要表明存在一个函数（让我们称之为tre为＃34;树＆＃34;）给出一个表示给出了一个树返回，并且每个树都有tre(rep(t))=t。简单来说 - 我们可以创建一个方法来接受表示并从中构建一个树，并且对于每个树，如果我们进行表示并通过该方法传递该表示，我们将得到完全相同的树。

所以，让我们开始吧！

实际上第一个工作 - 创建该方法（函数tre）已由您完成 - 通过您解释表示形式的方式。但是，让我们明确指出：

1. 如果列表为空，则返回空树。否则继续
2. 使根节点的值为values[0]，n_children[0]为子节点数（不设子节点）。
3. 启动列表索引i=1和级别索引li=1和级别元素索引lei=root.children.length以及下一级元素累加器nle_acc=0
4. while lei>0： 4.1。 lei次： 4.1.1。创建一个节点values[i]作为值，n_children[i]作为子节点数。 4.1.2。将新节点添加为尚未填充的级别li中最左边的子节点（从最右边的方向将树遍历到li级别，并将新节点分配给第一个引用，即尚未分配。我们知道上一级已完成，因此li-1级别中的每个节点都有一个children.length属性，我们可以检查并查看每个节点是否填充了他们应该拥有的子节点数） 4.1.3。添加nle_acc+=n_children[i] 4.1.4。增量++i 4.2。赋值lei=nle_acc（级别元素可以采用累加器为其收集的内容） 4.3。清除nle_acc=0（下一级元素累加器需要从下一轮开始累积）

现在我们需要证明通过第一个算法然后通过第二个算法（这里的这个算法）传递的任意树将完全不同于原来的那个。

由于我并未尝试证明算法的核心性（尽管我应该这样做），但我们假设它们按照我的意图行事。也就是说，第一个按照你的描述写出表示，第二个按照从左到右的顺序创建一个树，从表示中分配一个值和子数，并根据这些来填充子参考。当涉及到下一个级别的数字。

因此，每个节点根据表示（孩子们如何填充）具有适当数量的子节点，并且该数字是从树中写入的（生成表示时）。对于值也是如此，因此它与原始树是相同的树。

证据实际上应该更详细和详细 - 但我想我现在就把它留在那里。如果需要详细说明，我可以将其作为实际证明。