如何计算大数的正弦

Question

有几天，我一直在想如何计算大约100000!（弧度）的大数字正弦。阶乘只是一个例子，数字本身可以是任何不仅仅是一个因子产品...）我显然不使用来自boost multiprecision库的double但cpp_rational。但我不能简单地执行100000! mod 2pi，然后使用内置函数sinl（我不需要超过10位十进制数字......），因为我需要数百万pi的数字准确地做到这一点。

有没有办法实现这个目标？

Answer 1

这通常是一项非常重要的任务，因为它与Discrete Logarithm Problem有许多相似之处，这反过来意味着计算密集型计算。
也就是说，如果你考虑100000!/pi的对数，你的计算可能会更容易，因为它减少到等于或小于100000的所有正整数的对数和减法：{{1} }。如果您对此数字进行取幂，则会对log(N!/pi) = \sum_{i=0}^N (log i) - log(pi)进行近似评估。减去整数部分，并将结果乘以(N!/pi)。这是您pi的估算值 在公式中：

正如您可能注意到的那样，我多次使用 approximate 这个词。这是由于以下考虑因素：

• 你必须计算许多N! mod pi s，它们有一些成本和错误
• 根据您的问题规模，您可能想要更改日志的基础;这又会影响结果的准确性和精确度
• 你必须取代：小错误可能导致大错误
• 减去大数：可能导致大量取消
• 乘以log并评估pi：再次出错

如果您认为它可能有用，请考虑使用Stirling's approximation。

作为最后的评论，这些问题并不容易解决，你总是要逐个处理它们。

Answer 2

Wikipedia列出了许多三角标识。一些包含参数中的产品，例如递归的Chebyshev's Method，但可以使用Chebyshev Polynomials和/或memoization减少递归。如果你的论证很容易作为因子考虑因素，那么这可能是一种可行的方法。

Answer 3

注意：= pi

以弧度计算非常大数的罪 （将它们除以multip的倍数除以3.1415）
1.观察：sin 0 = 0，sin 0.5pi = 1，sin pi = 1，sin1.5pi = -1，sin 2pi = 0
2.在pi前面的偶数或奇数整数值，sin为0
3.对于实数值（具有小数点的那些），对于小数点前的偶数，将其作为正弦值的0作为奇数，然后取1.作为正弦值的东西。
4.参见示例 *请注意，sin和余弦本质上是周期性的，这就是为什么有可能以这种方式对大数或小数进行。 :)

EG。 （使用计算器检查计算结果）

1.0弧度：罪100 = -0.506
除以3.1415
在降低 Sin 31.831pi（31.831是实数值）= sin1.831（180）= -0.506，检查

2.0弧度：罪50 = -0.2623
除以3.1415
在降低 Sin 15.9155pi = sin1.9155（180）= -0.2623

3.0弧度：罪700 = 0.5439
除以3.1415
在降低 Sin 222.8169pi = sin0.8169（180）= -0.5440，检查

4.0弧度：sin 15000 = 0.8934
除以3.1415
在降低 Sin 4774.6483pi = sin0.6483（180）= 0.893，检查

您可以看到使用弧度计算器直接计算值来检出所有答案。希望这有用。

如果你想写出一个计算程序，那么最好算一下算法。

Answer 4

也许您可以使用cpp_rational直接从非常大的数字计算窦：

sin(x): x/1! - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

重复此系列，直到没有（针对您的应用）发生重大变化。这样就可以完全避免使用数字pi。