为圆弧定义一个圆圈的函数

Question

我需要一个能够以三维方式返回圆上的点的函数。

圆圈应“盖住”由A点和B点定义的线段及其半径。每个帽垂直于线段。并以其中一个端点为中心。

Here is a shitty diagram

Answer 1

设p是从A到B的方向上的单位矢量，即N =（B-A）/长度（A-B）。第一步是找到另外两个向量X和Y，使{N，X，Y}成为基础。这意味着您需要两个以上的向量，以便所有{N，X，Y}对彼此垂直，并且它们也都是单位向量。考虑这个问题的另一种方法是，您要创建一个新的坐标系，其x轴与线段对齐。您需要找到指向y轴和z轴方向的矢量。

请注意，X和Y有很多选择。你只需要找到两个有效的选择。

这样做的一种方法是首先找到向量{N，W，V}，其中N来自上方，W和V是（1,0,0），（0,1,0）中的两个，和（ 0,0,1）。选择对应于N的最小坐标的W和V的两个向量。因此，如果N =（。31，.95,0），则为W选择（1,0,0）和（0,0,1）和V.（数学极客注意：这种选择W和V的方式确保{N，W，V}跨越R ^ 3）。然后将Gram-Schmidt process应用于{N，W，V}以获得如上所述的向量{N，X，Y}。请注意，您需要向量N作为第一个向量，以便它不会被进程更改。

所以现在你有两个垂直于线段并且彼此垂直的矢量。这意味着A周围的圆是X * cos t + Y * sin t + A，其中0 <= t <1。 2 * pi。这与二维圆形的通常描述完全相同;它只是写在上面描述的新坐标系中。

Answer 2

正如大卫·诺曼所指出的那样，关键是要找到两个与N正交的正交单位向量X，Y。但我认为计算这些的更简单的方法是找到将N映射到（1的倍数）的户主反射Q. ，0,0）然后将Q下的（0,1,0）图像作为X，作为Q下的（0,0,1）的图像。虽然这可能听起来很复杂，但归结为：< / p>

s =（N [0]> 0.0）？ 1.0：-1.0

t = N [0] + s; f = -1.0 /（s * t）;

X [0] = f * N [1] * t; X [1] = 1 + f * N [1] * N [1]; X [2] = f * N [1] * N [2];

Y [0] = f * N [2] * t; Y [1] = f * N [1] * N [2]; Y [2] = 1 + f * N [2] * N [2];