Question

我正在阅读CLRS并正在观看Tim Roughgarden在Coursera上的斯坦福大学算法课程。算法的运行时间分析基于将比较阵列中的两个条目的概率。理解起来不是很容易，所以我尝试用其他方式进行分析，但我不确定它是否正确。

基本上我尝试计算每次调用分区子例程时返回的预期枢轴索引。

每次调用分区子例程时，允许 pivot 返回预期的pivot索引。

这表明我们可以预期分区子程序将平均分割子数组。使用递归树图示，可以很容易地显示树的深度将是 log（n），并且在树的每个级别上， O（n）为分区子阵列。这是对的吗？

Answer 1

您的计算是正确的，但解释不是。

数据透视索引的平均值不会直接影响效果分析。

想象一下一个非常糟糕的枢轴选择：它选择第一个或最后一个索引，概率为1/2。在这种情况下：

pivot = 1 * 1/2 + n * 1/2 = (n + 1) / 2 ≈ n / 2

然而，这显然是选择枢轴的最糟糕的策略 - 它将导致二次行为。

您需要的是直接计算算法的运行时间。它将比仅仅是枢轴索引的函数更复杂（我想，实际上太复杂了）。

一个更可行的想法是问自己这样的问题：

显然，pivot的索引并不总是n/2。但是，它几乎总是接近于此。它会走多远？或者，更正式地说，枢轴指数的概率大于例如n/4来自理想值？如果这个概率足够低，我们可以将树的平均深度限制为O(log n)吗？（我想是的）