Question

这是一个使用Quicksort分区算法在n个元素数组中找到第k个最小数的算法。

    small(a,i,j,k)
     {
      if(i==j) return(a[i]);
      else
      {
      m=partition(a,i,j);
      if(m==k) return(a[m]);
      else
        {
         if(m>k) small(a,i,m-1,k);
         else small(a,m+1,j,k);
        }     
       }
     }

其中i，j是数组的起始和结束索引（j-i = n（数组中元素的数量）），k是最小的第k个，无法找到。我想知道什么是最好的情况，以及上述算法的平均情况以及简要说明。我知道我们不应该在最好的情况下计算终止条件，并且分区算法也需要O（n）。我不希望渐近符号，但如果可能的话，我想要精确的数学结果。

Answer 1

首先，我假设数组已经排序 - 你没有提到 - 因为该代码不会起作用。而且，这对我来说就像常规的二元搜索一样。

总之...

最好的情况是当数组是一个元素长（你因为i == j而立即返回），或者对于大的n值，如果中间位置m与k相同;在这种情况下，不会进行递归调用，也会立即返回。这最好是O（1）。

对于一般情况，考虑T（n）表示使用算法解决大小为n的问题所花费的时间。我们知道：

T（1）= c

T（n）= T（n / 2）+ c

其中c是恒定时间操作（例如，如果i与j相同则比较时间等）。一般的想法是，为了解决大小为n的问题，我们消耗一些恒定时间c（以决定m == k，如果m> k，计算m等），然后我们消耗所花费的时间解决了一半大小的问题。

扩展重复可以帮助你推导出一个通用公式，虽然这很直观，这是O（log（n））：

T（n）= T（n / 2）+ c = T（n / 4）+ c + c = T（n / 8）+ c + c + c = ... = T（1）+ c * log（n）= c *（log（n）+ 1）

这应该是确切的数学结果。该算法在O（log（n））时间内运行。平均案例分析更难，因为您需要知道算法的使用条件。阵列的典型大小是多少？ k的典型大小？数组中k的最小位置是什么？例如，如果它在中间，则平均情况可以是O（1）。这实际上取决于你如何使用它。

通过快速排序方法查找分区的时间复杂度

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