Question

我遇到了一个关于快速排序算法的问题。这是来自中国大学CS 234数据结构的2010年中期考试。

假设在快速排序中，分区过程需要C次，（消耗恒定时间）。如果我们使用随机数据作为输入，那么Randomized-Quick Sort的顺序（时间复杂度）是什么？

任何人都可以用这种方式描述时间的复杂性吗？

编辑：

我计算这些关系。我的工作是对的？谁能澄清我？

Best Case: T(n)=2T(n/2)+C= Theta (n)

Worst Case: T(n)=2T(n-1)+C= Theta (n)

Answer 1

您正在寻找预期的运行时间：T(n)的预期值。所以让T(n)成为运行时的随机变量。有n个可能的结果，每个结果对应一个分区：

T(0) + T(n-1) + c
T(1) + T(n-2) + c
...
T(n-1) + T(0) + c

其中一个将被挑选，选择X(i) = 1 if T(i) + T(n - i - 1) + c，否则0。 T(n)的重复可以写成：

T(n) = X(0)(T(0) + T(n-1) + c) + ... + X(n-1)(T(n-1) + T(0) + c)

现在计算期望值，我们写道：

E( T(n) ) = E( X(0)(T(0) + T(n-1) + c) + ... + X(n-1)(T(n-1) + T(0) + c) )
          = (1/n)E(2T(0) + 2T(1) + ... + 2T(n-1) + cn)
          = (2/n)(E((T(0)) + ... + E(T(n-1))) + c.

通过期望的线性获得第三条线。在这一点上，我们将猜测E( T(i) )的答案并使用归纳来证明它。这种技术称为替代。

猜猜：E( T(i) ) <= Ai，A > 0和1 <= i < n。
Base：对于i = 1，数组已经排序，因此预期的运行时间是恒定的。
归纳：E( T(n) ) <= (2A/n)(n(n-1)/2) = A(n-1) <= An。

所以声明适用于n。预计运行时间为O(n)。

具有常分区的快速排序算法

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