Question

给定左手坐标系中由XZ平面定义的半球表面上的一组点：

给定一个定义另一个任意半球的平面的法向量：

如何定义一个旋转矩阵，允许我将每个点（矢量）从第一个半球变换到第二个半球的对应点？

如果可能的话，使用N的球面坐标作为旋转角度的旋转矩阵会很方便，$ \ theta $是$ 0 $到$ \ pi $的极角（直观地从Y到 - ） Y）和$ \ phi $是方位角，从$ 0 $到$ 2 \ pi $（从X再回到X通过+ Z，-X，-Z）。

Answer 1

构建旋转矩阵的第一步是定义（3）绕单轴旋转的顺序。在你的情况下，有2个角度，2个旋转就足够了（有phi和theta）。

我总是提到this structure from wikipedia 对于phi和theta的使用我可能是错的（关于你的约定），但我尽量清楚

我的个人序列可能是：首先围绕[0,2pi]中的角度phi绕Y轴旋转，以对准＆＃34; old＆＃34; X和Z轴到＆＃34;新的＆＃34;假设N与Y平行。然后绕着＆＃34; new =已经旋转＆＃34;旋转角度θ。 Z轴带来＆＃34;新＆＃34; Y轴沿N.

所以，让我们构建我们的矩阵。围绕Y的旋转具有这种结构（我使用;断开线，R总是3x3）

R_y = [cos(phi) 0 sin(phi); 0 1 0; -sin(phi) 0 cos(phi)]
R_z = [cos(phi) -sin(phi) 0; sin(phi) cos(phi) 0; 0 0 1]

从旧系统到新系统的完整旋转是两个矩阵的乘积，记住哪一个首先出现

R = R_z*R_y

实际上我们想要在旧系统中变换一组3D坐标a，因此它是：

b = R*a = R_z*R_y*a = R_z*(R_y*a)

并获得新坐标b