选择数字矩形的数字

Question

发明算法时我遇到了很大的问题。

我有两组节点。比如说，我们在第一组中有4个节点，在第二组中有另外4个节点。 下图说明了这一点：

我想将第一组中的节点与第二组中的节点连接起来。他们必须与最佳路径相连。 - 所有路线的长度必须尽可能接近，每个节点只能连接一条路线。 像这样：

我不想在下一张图片中这样做，因为路线的长度非常不同。

下表演示了所有节点之间的长度。从这张表中，我想选择最佳解决方案。最好的解决方案是环绕的。

当我拥有数百个节点的群组时，如何才能找到最佳解决方案？ 如果我尝试每一个组合，就会有100个！组合，这是很多。 我不能为此发明任何算法。

Answer 1

正如托马斯@在评论中所说，问题的解决方案取决于你对＃34;的定义尽可能接近＆＃34;。让我们将解决方案中的边集定义为S。假设定义被选择为最小化max(S) - min(S)（这在实践中是合理的假设），那么这个问题肯定可以在多项式时间内解决。

以下是该解决方案的一个示例。对于100个节点，它只需要几秒钟。

1

首先，您必须知道二分图的maximum matching problem，并且它可以在多项式时间内求解。最直接的Hungarian Algorithm需要O(nm)，其中n是节点数，m是边数。对于您的情况，平面图there are more sophisticated algorithms that can further improve the performance。

让我们将其定义为函数Max_Match(X)，它返回边集X中的最大匹配数。

此Max_Match可以小于O(n^1.5)计算，其中n是节点数。对于n=100，我们只有n^1.5 = 1000。

2

然后让我们将您的问题转换为最大匹配问题。

让我们为我们可以选择的所有边缘定义边E的边集。在您的情况下，n*n中有E个边，其中n是一边的节点数。

让我们定义功能 F(E, low, high) = {e | e in E and |e| >= low and |e| <= high } 这意味着E的子集边，其长度介于[low, high]

之间

然后，对于给定的一对数字low和high，当且仅当

时，您的问题才有解决方案

<强> Max_Match( F (E, low, high)) == n

3

但是，我们如何计算low和high的价值？

low和high的可能值是{|e|, e in E}中包含n^2个数字的所有可能数字。因此，尝试low和high的所有可能组合将花费n^4。那很多。

如果我们已经知道low，我们可以在没有枚举的情况下找出high吗？答案是肯定的。请注意：

引理1

如果我们有一个h号码 的 Max_Match( F (E, low, h)) == n

然后对于每个号码h' >= h我们也有

<强> Max_Match( F (E, low, h')) == n

这意味着我们可以在修复high后使用二进制搜索找出low。

4

所以最终解决方案的框架：

arr[] = {|e|, e in E}.sort()
for i in range(0, len(arr[])):
  low = i
  h_left = i, h_right = len(arr[])-1
  while h_left <= h_right:
    mid = (h_left+h_right)/2
    if Max_Match( F( E, arr[low], arr[mid]))==n:
      h_right = mid - 1
    else:
      h_left = mid + 1
  if h_left >= low:
    if arr[h_left] - arr[low] <= ans:
      ans = arr[h_left] - arr[low]

而ans将是解决方案中边缘之间的最小差异。此算法的费用为O(n^3.5 * log(n))，其中n是节点数。

编辑：在c ++中可以找到以上算法的简单而难看的实现： ideone.com/33n2Tg。因为我的时间不够，我在这个解决方案中手工制作了一个简单的匈牙利算法，当n很大时，这个算法很慢。为了获得更好的性能，您需要第1部分中包含的算法用于平面图。

Answer 2

我不认为你可以用A *轻松计算出来。蛮力也是O（n！）。我认为我们应该使用像遗传算法这样的启发式算法。

您可以使用数组实现gen（点A索引连接到值B点）

然后你必须生成一个含有随机基因的基因库。基因的数量没有固定......所以你必须测试一下。

您需要一种计算方法：

float GetLength(int indexA, int indexB)
{
    return sqrt((pointA[indexA].x - pointB[indexB].x) * (pointA[indexA].x - pointB[indexB].x) + (pointA[indexA].y - pointB[indexB].y) * (pointA[indexA].y - pointB[indexB].y));
}

然后你还需要健身功能：

float Fitness(int gene, int count)
{
    float min = GetLength(0,gene[0]);
    float max = GetLength(0,gene[0]);
    for(int i = 0; i< count;i++)
    {
        min = std::min(min, GetLength(i,gene[i]));
        max = std::max(max, GetLength(i,gene[i]));
    }
    return max-min;
}

你还需要配对它们：

int* Crossbreed(int* gene1, int* gene2, int count)
{
    int* geneNew = new int[count];
    for(int i = 0; i< count; i++)
    {
        geneNew[gene1[i]] = gene2[i];
    }
    return geneNew;
} 

杂交给了我们一些孩子;）必须通过健康测试。你也应该实现一个mutate方法，它给我们一个变异的基因。这对于保留局部最大值非常重要。

最后你只需要循环运行一段时间，你就会得到非常好的结果。

Answer 3

假设此表有n行和m列。 此问题相当于从此表中选择n个数字，它们位于不同的行和不同的列中，因此这些数字的总和最小。 我们可以使用dfs找到n中的所有组合！但是对于这个问题，我们可以有一个A* search algorithm。

对于这个问题，启发函数h（x）是

这种A *算法的复杂性很难计算，但它经常表现良好。