Question

我如何证明这个简单的事实

forall x:nat, S x > 0.

我的逻辑是

对于任何自然，n> n> 0或n = 0。
S x = 0导致矛盾。

我的主要问题是我无法记住关于nat的所有这些微不足道的定理/引理，而且我不太了解搜索命令。

我试图破坏GT＆＃39;或者＆＃39;＆gt;＆＃39;构造函数，或对＆＃39;进行一些反转。但我无法弄清楚语法或这是否是正确的方向。

任何帮助（除了像欧米茄这样的重物）都非常感谢。

Answer 1

这是另一种方法（基于您对自然数的观察）。

首先，我们需要导入一个包含许多关于自然数的事实的模块（没有这个导入Search将无法找到我们要查找的内容）：

Require Import Coq.Arith.Arith.

现在，让我们来看看引理，它指出任何nat都是0或大于0：

Search ({_ = 0} + {_}).

此搜索结果

zerop: forall n : nat, {n = 0} + {0 < n},

这是Coq对先前观察到的事实的说法。

使用zerop引理，我们最终可以证明我们的目标：

Goal forall x:nat, S x > 0.
  intros x. 
  destruct (zerop (S x)).

(* subcase S x = 0 *)
  discriminate.             (* deals with the contradiction *)

(* subcase S x > 0 *)
  assumption.
Qed.

<小时/> 顺便说一下，标准库中有一个引理（从Coq v8.5开始），它与你的引理完全相同：

Search (S _ > 0).

这导致gt_Sn_O: forall n : nat, S n > 0，你可以在标准库中查看这个引理的实现（它反过来使用了几个引理）。

Answer 2

这里有一些可以帮到你的命令：

Unset Printing Notations.，以便能够看到哪些符号对应
Print ID.查看标识符ID是
unfold ID.按其定义

ID

SearchAbout (ID (CON ?m) ?n)查找涉及ID的结果适用于子项的CON和任何其他子项（如果您重复使用相同的?m占位符，搜索只返回相应子符号匹配的结果）。

例如，在您的情况下，这可能会导致此交互式会话：

Unset Printing Notations.
Goal forall x:nat, S x > 0.
intro x.
Print gt.
unfold gt.
Print lt.
unfold lt.
Print le.
SearchAbout (le (S ?m) (S ?n)).
apply le_n_S.
SearchAbout (le 0 ?m).
apply le_0_n.
Qed.

Answer 3

我提出了一种基于<运算符的计算编码的替代解决方案：

From mathcomp
Require Import ssreflect ssrbool ssrfun eqtype ssrnat.

Lemma test n : 0 < n.+1.
Proof. by []. Qed.

这是如何工作的？实际上，这是有效的，因为我们将<操作定义为函数：

(m < n) = (m.+1 <= n) = (m.+1 - n == 0)

当应用于你的引理时，它变为：

(0 < n.+1) = (0.+1 <= n.+1) = (1 - n.+1 == 0) = (0 - n == 0) = (0 == 0) = true

我如何证明＆＃39; S x＆gt; 0＆＃39;从头开始在Coq？

3 个答案: