Question

Lemma rev_firstn : forall (x : list bool) (n : nat),
rev (firstn n x) = firstn n (rev x).

我花了很多时间。我从一个明智的目标开始，但总是以一个无法证明的目标结束。

这是我目前的做法：

Proof.
  intros. generalize dependent x. induction n. 
  + easy. 
  + induction x.
    - easy. 
    -

就我而言，我现在有：

IHn : forall x : list bool, rev (firstn n x) = firstn n (rev x)
IHx : rev (firstn (S n) x) = firstn (S n) (rev x)

我的目标是：

rev (firstn (S n) (a :: x)) = firstn (S n) (rev (a :: x))

有没有一种方法可以在IHx中将x泛化，所以我可以将其专门化为（a :: x）？由于我不知道执行此操作的正确策略，因此请尝试以下操作，最后得出前面提到的不可能的目标。

Proof.
  intros. generalize dependent x. induction n. 
  + easy. 
  + induction x.
    - easy. 
    - assert (rev_cons : forall (b : bool) (l : list bool), 
              rev (b :: l) = rev l ++ [b]).
      { easy. } rewrite firstn_cons. 
      rewrite rev_cons. rewrite rev_cons. specialize (@IHn x).
      rewrite IHn.
Goal: firstn n (rev x) ++ [a] = firstn (S n) (rev x ++ [a])

该目标是不可能的，因为对于n = 0且rev x = h :: t，该目标减少为[a] = List.hd (rev (h :: t)) ++ [a]。

这个引理实际上是不合理的，还是我只是缺少一些战术？

Answer 1

假设firstn和rev是我所认为的，我不认为引理是正确的。

rev (firstn 2 [true, false, false])
= rev [true, false]
= [false, true]

但是

firstn 2 (rev [true, false, false])
= firstn 2 [false, false, true]
= [false, false]

本质上，rev (firstn n x)是n的前x个元素（以相反的顺序），但是firstn n (rev x)是{{1 }}（也可以相反的顺序）。为了使这种引理在任何形式的普遍性上都成立，您将需要x最多具有n个元素。正如Arthur Azevedo De Amorim在评论中指出的那样，如果您插入x只看{{1}的最后n（最多）个元素，那么您也可以获得正确的引理版本。 }。

skipn n

如何证明Coq中的以下引理？

1 个答案: