是否有一般方法计算for循环的渐近时间复杂度？

Question

是否有通用的方法/方法/方法来计算此类循环的渐近时间复杂度？

j=a
while j<n do
    j=f(j)

其中f(j)可以是j+1，2*j，j*j等。

请注意，上面的代码等同于C for-loop

for (j=a; j<n; j=f(j));

Answer 1

首先是答案，然后是一般方法：

1）如果f（j）= j + 1，那么你将有大约n步到达n。

2）如果是2 * j。每次你以大约log n步骤加倍，你将达到n。

3）如果j * j，它将a，a ^ 2，a ^ 4，a ^ 8;因此，在大致loglog n步骤中，您将进入n。

现在，一般方法是什么？你找到模式并将其等于n，然后求解方程式：

1）应用f x次将得到+ x，所以a + x = n所以x = n - a = O（n）。

2）应用f x次将得到*（2 ^ x），因此a *（2 ^ x）= n，因此x = log n / a = O（log n）。

3）应用fx次会得到^（2 ^ x），所以a ^（2 ^ x）= n所以2 ^ x = log_a n，所以x = log log_a n = O（log log n） 。 （log_a n是基数a的n的对数）

我希望它有所帮助

Answer 2

方法是解决复发问题

F(j+1) = f(F(j)), F(0) = a.

然后解决不公平

F(k(n)) < n <= F(k(n)+1), 

代表k(n)，复杂度为O(k(n))。

例如，f(j):= j²产生

F(j+1) = F²(j), F(0)= a

有解决方案

F(j) = a^(2^j).

然后通过反转

k(n) ~ log(log(n)/log(a))/log(2) = O(log(log(n))).