这个算法的运行时间很长

Question

我发现很难分析算法的时间复杂度。以此算法为例，如何在O表示法中找到运行时间？

loop(n)  
i = 1  
while i ≤ n  
    j = 1  
    while j ≤ i  
        j = 2 ∗ j  
    i = i + 1  

Answer 1

当给出这样的代码时，它往往有助于从内到外工作。你的内循环在这里给出：

j = 1
While j <= i 
    j = 2 * j

这个循环通过反复加倍j直到它大于i来工作。在超过i之前可以加倍1的次数是Θ（log i），因此每次运行内部循环时它都会Θ（log i）工作。

外部循环从1到n计数，因此完成的工作是

  

log 1 + log 2 + ... + log n

     

= log（1 * 2 * ... * n）（使用对数的属性）。

     

= log（n！）

     

=Θ（n log n）。

最后一步是Stirling's approximation。

总的来说，时间复杂度是Θ（n log n）。

Answer 2

从你的帖子我明白，你知道O符号的含义，但在应用它时有一些问题。在这个简单的例子中，足以确定执行循环的次数（取决于您的输入大小）。要获得最终值，您必须将其组合起来。

第一步：分析每个循环的执行次数。 （非循环或递归语句有O（1）。）

while(i<=n) 
... 
i=i+1

执行n次，因此O（n）

内循环    而（J＆LT; = I）       当J = J * 2

执行i / 2次，但我受外环的n限制。所以这是O（n）。

由于在外环中有一个带O（n）的内环，你必须乘以渐近线，即n * n =＆gt;为O（n ^ 2）