如何计算网络中的平均权重最短路径

Question

输入

我有一个无向图G（V，E），它有一组顶点V和一组边E.每个边都有一个正权w_ij。有一个起始节点v_1和一个结束节点v_3。

问题/算法

是否有可能找到最佳的＆＃34;路径，在某种意义上是最优的，路径中每个使用边缘的权重最小化？也不应该多次访问任何节点。

请注意，经典的Dijkstra算法会失败，因为它会查找权重总和最小的路径： 最小（Sum（w_ij））

但是，我正在寻找满足的路径：Min（Sum（w_ij）/ number_of_edges）

示例

为了澄清，我创造了一个小人物。 红色数字对应于边缘的权重，黑色字母对应于顶点的标签。 如果我使用Dijkstra算法计算顶点v1和v3（图1）之间的最短路径，则最短路径为v1-> v2-> v3，因为 这给出了最低的总重量：

w = 2 + 2 = 4。

但是，我想拥有＆＃34;平均重量最短路径长度＆＃34;，这样路径的每一步的平均重量低于每一步  其他路径。在上面提到的 例如＆＃34;平均体重最短路径＆＃34;是v1-> v4-> v5-> v6-> v7-> v3，因为平均重量将是

w = 1/5（1 + 1 + 1 + 1 + 1）= 1，

而在另一条路径上，它是v1-> v2-> v3给出

w = 1/2（2 + 2）= 2。

第一种方法：Dijkstra 只需计算起始节点和结束节点之间的所有路径（无循环）。然后计算总重量和总长度并将它们分开。这种方法对于体积适中的网络来说会占用太多内存，我最终会想到这一点（n = 200000）。

第二种方法：Dijkstra并发长度计算 在计算最短路径（最小权重总和）时，您还要保存到目前为止的路径长度。通过这种方式，您可以了解每条边缘重量的当前最佳路径。

问题

1）是否存在解决此问题的解决方案？

2）如何实现这个问题的解决方案？

Answer 1

您需要修改Dijkstra算法中的成本函数才能使其工作。对于每个节点，您应该计算所需的平均值（而不是实际重量），并在访问新节点时存储和更新它。您应该为每个访问过的节点存储两个数量：average_so_far（而不是之前的最短路径长度）和number_of_edges（以跟踪已经有多少边缘）在你的道路上）。如果你知道每个已经访问过的顶点，那么一旦你访问了一个新的顶点，你应该检查一个边缘(average_so_far*number_of_edges+weight(new edge))/(number_of_edges+1)的新平均值是否有所改善。

这些方面的某些东西最终应该有用。