最差的SPFA测试用例

Question

最近，我读到了有关最短路径更快算法的内容。我想知道如何构建一个测试用例，其中SPFA的标准实现非常非常慢。你知道吗？

通过标准实现，我的意思是来自维基百科的这个：

 procedure Shortest-Path-Faster-Algorithm(G, s)
1    for each vertex v ≠ s in V(G)
2        d(v) := ∞
3    d(s) := 0
4    offer s into Q
5    while Q is not empty
6        u := poll Q
7        for each edge (u, v) in E(G)
8            if d(u) + w(u, v) < d(v) then
9                d(v) := d(u) + w(u, v)
10                if v is not in Q then
11                    offer v into Q

Answer 1

例如。有N个顶点。第一个顶点是起点，第N个顶点是结尾。对于第i个顶点，有2个边：（i，i + 1,1）和（1，i，2 * N）其中（a，b，c）表示从a到b的边有权重c。 / p>

很容易看出该图中的最短路径是1-> 2-> 3-> 4-> ...... - > N. 假设对于spfa算法的第7行：对于E（G）中的每个边（u，v），具有较大id的顶点在具有较小id的顶点之前被访问。然后第i个顶点将被推入队列max（1，i-1）次。所以总执行时间是O（N ^ 2）。

此外，如果对于第7行，具有较大id的顶点比具有较小id的顶点稍后访问，则执行时间为O（N）。

对于spfa，总会存在第7行的遍历顺序，这导致最差的时间复杂度，并且始终存在第7行的遍历顺序，这导致最佳的时间复杂度。关键是信息如何通过最短路径传播。

Answer 2

根据 Ke Yang 的回答，具有 5 个顶点的图的最坏情况是：

在每次迭代中，队列将具有以下元素（队列的头部是最左边的元素）：

[1]
[5, 4, 3, 2]
[4, 3, 2]
[3, 2]
[2]
[5, 4, 3]
[4, 3]
[3]
[5, 4]
[4]
[5]

这显示了一个模式：4 + 3 + 2 + 1，这表明它的 O(N^2)。

然而仔细观察，每次轮询（出队）一个顶点时，它的所有出站边都会被考虑，第 7 行。因此，第 8 行中的 if 被执行：

<头>

顶点	出队时间	出站边	if 的总执行
1	1	4	4
2	1	3	3
3	2	2	4
4	3	1	3
5	4	0	4

我们总共有： if被执行的次数：

其中是 O(V^3)，其中 V 是顶点数。因为这个示例图会很密集，有 O(V^2) 条边。最终的复杂度可以写成 O(V*E)，其中 E 是边的数量。与SPFA最坏情况的复杂性相同。 https://en.wikipedia.org/wiki/Shortest_Path_Faster_Algorithm#Worst-case_performance