Question

我有这个问题，我无法证明。有人可以提供一些关于这个问题的见解

我们有一个连通图G =（V，E），并且作为特定顶点u∈V。假设我们计算一个以u为根的深度优先搜索树，并获得一个包含G的所有节点的树T.然后我们计算一个以u为根的广度优先搜索树，并获得相同的树T.证明G = T.（换句话说，如果T既是深度优先搜索树又是广度优先搜索树，其根植于你，那么G不能包含任何不属于T的边。）

Answer 1

来自Berkeley CS Course Solution

假设输入图 G 是无向的且已连接，但不是树。

然后 G 必须包含一个循环 C 。假设 C 由k个节点 v1，v2，...，vk 组成，即 C 是周期 v1→v2→。。。 →vk→ v1 。

现在，在 DFS 树中，节点 v1，v2，...，vk 将全部位于从根到叶的同一条路径上。
li>
为什么？假设 vf 是这些节点中第一个要访问的节点。然后，必须在explore(vf)期间的某个时间点访问其余节点因为另一个 vi 都紧密相连。

但是，在 BFS 树中，节点 v1，v2，...，vk 将形成至少两个分支，从第一次访问的节点开始分支（想象在周期上执行 BFS ）。因此， BFS 和 DFS 会产生同一棵树 iff 输入图是一棵树。

@dtldarek在math.stackechange中的另一种方法：

的确，如果图是简单的，连通的和无向的，并且非常基本的观察结果是，当且仅当在BFS / DFS搜索中遍历每个边时，G才是树。

假设TBFS = T = TDFS，但是存在e∈E（G）∖E（T），即没有任何算法访问过的边缘。

未遍历边缘的唯一原因可能是另一侧的顶点已被访问，但是如果存在DFS后边缘，则BFS必须在以前使用过它。 < / li>

Answer 2

一旦你理解了BFS和DFS以及它们之间的基本区别，证明非常简单。

BFS VS DFS

dfs和bfs之间的主要区别在于它们是如何从root开始构建树的。当访问一个顶点时，会出现差异，如何访问相邻顶点。让我们解决每个以简单的方式逐遍遍历。

<强> 1.BFS

1.BFS首先访问根。然后访问距离根1个边缘距离的顶点。假设有4个顶点a，b，c，d与根相邻然后bfs将在访问root之后访问这4个顶点。

2.一旦bfs完成访问距离根1边缘的顶点。然后在root之后访问第一个顶点并重复相同的过程。第一个顶点是第一个顶点，这由队列数据结构处理。

当你使用它来遍历树时，这就是BFS被称为级别顺序遍历的原因。因为它逐级访问顶点，并且在树的情况下明确定义了级别。

<强> DFS

1.DFS首先访问root。访问root后，它不会访问与root相邻的所有顶点，但会进入图的深度。

2.一旦它访问root，它只访问与root相邻的顶点，然后从该顶点本身启动dfs，即它在访问与root相邻的所有顶点之前进入深度。它只有在它开始dfs的方向深度访问顶点时才会出现。

值得注意的是，BFS以TOP DOWN方式构建树，而DFS以BOTTOM UP方式构建树

如果两棵树相同，那么当你的图形本身就是树时就是这种情况。树只能是特殊的两种类型。

这对于像这样的倾斜树的图形来说也是如此：

root
|
|
V1
|
|
V2
|
|
.
.
.
Vn

在这种情况下，bfs和dfs都朝着一个方向。

或具有星形拓扑的图形如下：

               V1
               /
              /
   Vn-----root------V2
          |  \
          |   \
          V4  V3

Proof By声明

与上面两棵树不同的任何其他树将类似于在x级存在中间顶点v并且它具有多于1个子节点（比如2）c1和c2在x + 1级别，bfs将做的是访问v然后是c1和c2，但是dfs会做的是访问v然后是c1然后是c1的子代，所以在这两种情况下，遍历不会相同。

图和BFS和DFS树的等价性

2 个答案: