大Oh，Big Omega和Theta算法的计算复杂度

Question

我正在尝试解决有关计算复杂性的以下问题：

  

计算以下算法的计算复杂度   记下Big O，Big Omega和Theta的复杂性

for i=1 to m {
   x(i) =0;
   for j=1 to n {
      x(i) = x(i) + A(i,j) * b(j)
   }
}

     

其中A是mxn，b是nx1。

我结束了Big O O(mn^2) 大Omega(1)和Theta(mn^2)。

Answer 1

回想f = Theta(g)当且仅当f=O(g)和f=Omega(g)。

矩阵向量乘积可以在Theta(mn)时间内计算（假设天真实现）和O(m)中的向量之和，因此总运行时间为Theta(mn)。从这里开始，时间也是O(mn)和Omega(mn)。

Answer 2

假设以下语句以恒定时间运行：

    x(i) = x(i) + A(i,j) * b(j)

因此在 O（1）中完成，并且不依赖于i和j的值。由于您在内部for循环中迭代此语句，恰好n次，您可以说以下代码在 O（n）中运行：

x(i) =0;
for j=1 to n {
    meth1
}

（假设分配也在恒定时间内完成）。同样，它不依赖于i的确切值。最后我们考虑外部循环：

for i=1 to m {
   meth2
}

方法meth2重复m次，因此 O（n m）中时间复杂度的上限很紧。

由于没有条件语句，也没有递归和数据结构 A ， b 和 x 不会改变执行该程序，算法也是 big Omega（mn）和 big Theta（mn）。

当然你可以高估大哦和低估大欧米茄：对于每个算法，你可以说它是Ω（1）而对于某些人来说它是 O（2） ⁿ ），但重点是你不会买那么多。