Question

我很感激以下问题的建议/算法：

考虑具有由E边连接的V顶点的图（V，E <= 10 ^ 5）。删除顶点后，将删除连接到该顶点的所有边。顶点标记为1,2，...，V。

在E行上给出输入，并且在每一行上有两个以空格分隔的顶点数，表示这两个顶点之间的边。接下来的V行是1,2，...，V的置换，表示顶点被移除的顺序。输出V行表示每个步骤是否连接了图形（即每对顶点之间有一系列路径）。 V和E是已知的，在输入的第一行上以空格分隔的整数给出。

例如，请考虑以下示例输入（边缘是无向的）：

5 5

1 2

3 1

2 3

2 4

5 4

3

4

1

2

5

第一行表示有5个顶点和5个边。接下来的5行描述了边缘（它们是无向的，即从1到2的边缘也可以从2到1）。之后的5行给出了顶点被移除的顺序。

对于此示例，我们将获得如下输出：

当顶点3被移除时，图形被连接，因为我们可以从1,2,4,5中的任何一个到1,2,4,5中的任何一个。当移除顶点4时，图形被断开因为顶点5没有连接。当顶点1被移除时，存在同样的问题。当顶点2被移除时，只剩下5个，因此图形被连接。删除所有顶点后，图表就会连接起来。

我尝试了一种天真的递归方法，检查是否可以从起始顶点到终点：

void dfs(int start, int curr, int end):
    if (curr == 0): // start condition, i.e. curr not yet initialized
        curr = start
    if (curr == end):
        return true
    else:
        for (int v : edges[curr]):
            dfs(start, v, end)
    return false

检查每一步是否可以使用上述算法从所有顶点A行进到所有其他顶点B太慢（O（V ^ 2 * E ^ V），算法理想情况下应为O（V log） V），或者可能在大约一秒钟内运行O（V ^ 2）。

Answer 1

对于分区图的每个步骤存储数量。对于初始图形，它是通过从初始顶点执行完全遍历（DFS或BFS）来完成的，而不是从尚未覆盖的顶点重复遍历。如果分区数<= 1，则连接图形。

如果删除的顶点的度数为0，则分区数减少一个。

如果删除的顶点的度数为1，则分区数保持不变。

如果删除的顶点的度数大于1，则可以将分区数增加max degree-1。通过从移除顶点的邻居的类似遍历来检查。从最初的邻居开始，找到与之相连的所有邻居。重复从未访问的neigbour遍历。

删除顶点时检查图形是否已连接

1 个答案: