将此逻辑句子转换为Conjunctive Normal Form

Question

我正在努力将这句话改为CNF：

（A∨B）⇔（C∧D）。

我已经尝试使用Biconditional消除逻辑规则来消除⇔。

（A∨B）→（C∧D）∧（C∧D）→（A∨B）。

然后我用Implication消除逻辑规则消除了→。现在我有了

¬（A∨B）∨（C∧D）∧¬（C∧D）∨（A∨B）。

我几乎被困在这里。我的教授说我应该使用分配规则来减少句子。我似乎找不到符合分配规则要求的任何东西。所以，在做一些我不知道的逻辑规则之前，我似乎无法使用分配规则。

我在这里缺少什么？ Stack Stack Over帮助我恢复转换为CNF吗？

Answer 1

你从表达式开始：

• （A∨B）⇔（C∧D）。

您尝试执行前几个步骤。在这里，我添加了括号以清楚正确：

• [（A∨B）→（C∧D）]∧[（C∧D）→（A∨B）]。 （根据⇔的定义）
• [¬（A∨B）∨（C∧D）]∧[¬（C∧D）∨（A∨B）]。 （按→的定义）

将De Morgan否定定律应用于¬（A∨B）和¬（C∧D）：

• [（¬A∧¬B）∨（C∧D）]∧[（¬C∨¬D）∨（A∨B）]。

简化右半部分：

• [（¬A∧¬B）∨（C∧D）]∧[¬C∨¬D∨A∨B]。

∨over∧的分布规律指出：X∨（Y∧Z）⇔（X∨Y）∧（X∨Z）。

我们将法则应用于左半部分，X =（¬A∧¬B），Y = C，Z = D：

• [（（¬A∧¬B）∨C）∧（（¬A∧¬B）∨D）]∧[¬C∨¬D∨A∨B]。

将分配律应用于左半部分的两个子表达式：

• [[（¬A∨C）∧（¬B∨C）]∧[（¬A∨D）∧（¬B∨D）]]∧[¬C∨¬D∨A∨B]。< / LI>

删除额外的括号，因为∧是关联的和可交换的：

• （¬A∨C）∧（¬B∨C）∧（¬A∨D）∧（¬B∨D）∧[¬C∨¬D∨A∨B]。

重新排列变量，我们的最终公式采用联合正常形式（CNF）：

• （¬A∨C）∧（¬A∨D）∧（¬B∨C）∧（¬B∨D）∧（A∨B∨¬C∨¬D）。