O（E）时间内Krushkal算法的修正

Question

假设G =（V，E）的边具有{1,2}的权重。修改Krushkal的算法，使其在O（E）时间内运行。

我是算法新手。这可能是什么逻辑？

Answer 1

Kruskal的算法是basically the following：

• 创建一个森林F（一组树），其中图中的每个顶点都是一个单独的树
• 创建一个包含图表中所有边缘的集合
• 而S是非空的，而F还没有跨越
  • 从S
  移除重量最小的边缘
  • 如果删除的边连接两个不同的树，则将其添加到森林F，将两棵树合并为一棵树

假设你正在使用disjoing set data structure，成本主要是通过维持集合 S ，允许最初保持所有边缘，然后找到最轻的剩余边缘。但是，如果所有边都具有权重1或2，则可以使用两个链接列表实现此操作，每个权重一个，每个操作将 O（1）。

Answer 2

[编辑：此算法生成G的最小生成林，即la Kruskal。如果连接了G，这个森林将是一棵树。]

Ami Tavory's solution在实践中会很好，并且它使用的不相交集合操作的逆Ackermann复杂度就可以在我们的物理世界中描述的任何问题上表现得像O（1），但它们不是'真正的O（1），所以整体算法不是真正的O（| E |）。

然而，如果输入是作为边列表给出的，或者作为孤立顶点的顶点的分数（或总数）是由某个常数限定的，那么是一个O（| E |）算法，它实际上非常简单 - 虽然称它为“Kruskal的修改”是一个巨大的延伸，并且对于试图弄清楚它是什么的人来说非常混乱。 （注意，如果我的假设不成立 - 也就是说，如果输入没有作为边缘列表给出，并且在孤立顶点的分数上没有界限 - 那么在最坏的情况下，甚至没有算法< em>查看O（| E |）时间内的所有输入数据：G根本没有边缘，数十亿个孤立的顶点。）

算法

基本思想是重复使用DFS仅使用尚未考虑的权重最小的边来查找连接的组件，然后将这些组件折叠为单个顶点。该算法在O（k（| E | + | V |））时间内工作，其中k是输入图中不同边权重的数量 - 因此，只要上述关于输入的假设成立且k由常数限定（这里k <= 2），得到的算法是O（| E |）。我假设输入是作为边列表E给出的，但如果输入是邻接列表形式，则可以在O（| E |）时间内将其转换为此形式。

1. 找出最小边缘重量x。 （如果没有给出一组不同的边缘权重作为问题的一部分，这可以在O（| E |）时间内完成，只需查看每个边缘。）
2. 创建子图G_x的邻接列表表示，该表示仅包含权重x的边和它们连接的顶点。这需要O（| E |）时间。
3. 创建| V​​（G）|的数组c []对于所有1＆lt; = v＆lt; = | V（G）|，设置c [v] = v。对于G_x中的顶点，c [v]将保持顶点v的“标签”，这将是包含v的G_x的连通分量中的最小编号顶点。对于顶点v不在V（G_x）中，它以后会方便地设置c [v] = v。

4. 按递增顺序循环遍历G_x中的所有顶点。对于任何尚未访问的顶点v（即，对于任何具有c [v] = v的v），在该顶点开始深度优先搜索

   1. 为DFS期间访问过的每个顶点设置c [u] = v，
   2. 将每个获取的边追加到列表T（注意，在迭代中保留T）。

   需要O（| E_x | + | V_x |）= O（| E_x |）= O（| E |）时间来执行所有这些DFS，因为没有多个访问G_x的边或顶点DFS。还要注意测试“c [v] = v？”可用于检查顶点v是否已被访问过，而不需要像DFS有时需要的单独的“seen []”数组。

   3. 创建一个空列表E'。对于原始图G中的每个边缘uv：

      1. 如果w（uv）= x，则不执行任何操作。 （这些边缘将被丢弃。）
      2. 否则，将权重w（uv）的边（c [u]，c [v]）追加到E'。

      此步骤创建新图G'=（V，E'）的边E'，其中G_x中的每个连通分量已有效地缩小为单个顶点（即，组件中编号最小的顶点） ，所有其他边缘保持不变。请注意，E'可以包含重复的边，但这不会影响正确性（DFS处理它们很好）或损害时间复杂度（因为很明显| E'|＆lt; = | E |）。

      3. 如果| E'| ＆GT; 0，设置E = E'并从步骤1重新开始（或等效地，递归以解决E'并将得到的边列表附加到T）。
      4. 当我们到达这一点时，T是G的最小跨越树森林。

      每个步骤最多需要O（| E |）时间，整个算法最多运行k次，因此整个算法在开始时给出的假设下为O（| E |）。有一些实际的加速可以实现，比如使用桶排序最初按重量排序边缘，并且（再次通过桶排序）删除在步骤5中生成的重复边缘。