Question

我试图找到一种计算任意点和弧之间最短距离的通用方法，其中弧是椭圆边界的90度部分，椭圆的轴都与笛卡尔坐标轴对齐。我在2D工作，所以点和椭圆都是共面的。如果该点与弧相同的象限，相对于椭圆的中心，那么我相信问题与计算整个椭圆边界上从一个点到任意点的距离是相同的，为此它相当简单方法（例如http://www.geometrictools.com/Documentation/DistancePointEllipseEllipsoid.pdf）。

在图中，如果点位于x1的左侧或x2的右侧或y1的下方，则问题是直接的。

但是，如果点P如图所示，我无法弄清楚该做什么。

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Answer 1

我通常使用省略号：

按N点
对弧进行采样
90度块使用N>=8所以你不会错过任何东西
找到最近点
N点
围绕该点的样本弧
从上一点到下一点的覆盖范围
递归循环到＃2

每次迭代/递归都会提高准确性。如果达到所需的精度范围（采样区域足够小）或可变精度限制（以避免 FPU下溢），则停止。

<强> [注释]

这适用于任何椭圆弧，而不仅仅是轴对齐。

[Edit1] C ++示例

double x0,y0,rx,ry,a0,a1;   // elliptic arc center,semi-axises,start/end angles CW
void ellarc_closest_point(double &x_out,double &y_out,double x_in,double y_in)
    {
    int e,i;
    double ll,l,aa,a,da,x,y,b0,b1;
    while (a0>=a1) a0-=pi2;                 // just make sure a0<a1
    b0=a0; b1=a1; da=(b1-b0)/25.0;          // 25 sample points in first iteration
    ll=-1; aa=a0;                           // no best solution yet
    for (i=0;i<3;i++)                       // recursions more means more accurate result
        {
        // sample arc a=<b0,b1> with step da
        for (e=1,a=b0;e;a+=da)
            {
            if (a>=b1) { a=b1; e=0; }
            // elliptic arc sampled point
            x=x0+rx*cos(a);
            y=y0-ry*sin(a);                 // mine y axis is in reverse order therefore -
            // distance^2 to x_in,y_in
            x-=x_in; x*=x;
            y-=y_in; y*=y; l=x+y;
            // remember best solution
            if ((ll<0.0)||(ll>l)) { aa=a; ll=l; }
            }
        // use just area near found solution aa
        b0=aa-da; if (b0<a0) b0=a0;
        b1=aa+da; if (b1>a1) b1=a1;
        // 10 points per area stop if too small area already
        da=0.1*(b1-b0); if (da<1e-6) break;
        }
    x_out=x0+rx*cos(aa);
    y_out=y0-ry*sin(aa);    // mine y axis is in reverse order therefore -
    }

视觉输出：

Answer 2

所以整个弧形的东西都是红鲱鱼。它是一个回到单位圆的线性比例。所以你只需要找到从一个点到单位圆的最短距离。（https://math.stackexchange.com/questions/103453/closest-point-to-a-unit-circle-from-a-point-inside-it）然后只需撤消比例并测量距离。

[Spektre编辑]这显然是错误的！

如果你找到一个圆的最近点（在缩放空间中）并不意味着重新缩放后（到椭圆空间）这个点仍然是最接近的！见例：

从点到椭圆弧的最短距离算法

2 个答案: