从点到此曲线的最短距离

Question

我需要找到多个点到表格曲线的距离：f(x) = a^(k^(bx))

我的第一个选择是使用它的导数，使用带有导数倒数的形式的一条线，给它Point的坐标并将其与原始曲线相交。最后，我们用简单的几何计算点之间的距离。

这是我通常遵循的数学过程。我需要节省时间（因为我正在做遗传算法程序）所以我需要一种有效的方法来做到这一点。想法？

Answer 1

点（c，d）与曲线之间的距离是函数的最小值

sqrt((c-x)^2 + (d-a^(k^(bx)))^2)

为了找到它的最小值，我们可以忘记sqrt并查看一阶导数。找出它的0（它必须是最小距离，因为没有最大距离）。这将为您提供曲线上最近点的x坐标。要获得计算y坐标所需的距离，然后计算到该点的距离（您可以只计算x处的距离函数，这是相同的事情。）

重复你的每一点。

遗憾的是，距离函数的一阶导数是一种婊子。使用Wolfram's derivator，结果希望（如果我没有发生任何复制错误）：

dist(x)/dx = 2(b * lna * lnk * k^(bx) * a^(k^(bx)) * (a^(k^(bx)) - d) - c + x)

Answer 2

要找到从点到曲线的距离，这不是一项简单的任务，因为你需要找到函数的全局，其中f（x）是决定曲线的函数。

为了达到这个目标，你可以使用：
 Simplex method
 Nelder_Mead_method
 gradient_descent

此方法在许多库中实施，例如Solver Foundation，NMath等。