Question

算法2课程中的Tim Roughgarden讲授了以下方法来更新最小堆中的相邻顶点（从堆中提取min后）：

When a vertice v is added to the MST:
  For each edge (v,w) in the unexplored tree:
      1. Delete w from the min heap.
      2. Recompute the key[w] (i.e. it's value from the unexplored tree
         to the explored one).
      3. Add the value back to the heap.

所以，基本上这涉及从堆中删除（而heapify采用O（logn））然后重新插入（再次O（logn））

相反，如果我使用以下方法：

For each edge (v,w) in the unexplored tree:
    1. Get the position of the node in the heap(array) using HashMap -> O(1)
    2. Update the value in place.
    3. Bubble up or bubble down accordingly. -> O(logn)

虽然它们是渐近相同的，但后者给出了更好的常数。那么它比课程中的更好吗？或者我错过了什么？

Answer 1

渐近相同，你会得到一个更好的常数因子。您尝试使用HashMap实现的是使用 O（n）额外空间。此外，in worst case，它需要 O（logn）额外的时间，与从堆中删除相同的费用。然而，其与logn成正比的概率非常低。您可以查看要使用的probabilistic performance analysis特定HashMap实现。如果您有兴趣了解更多相关信息。

我可以提出一个更好的解决方案，避免使用HashMap，因此更容易观察/分析常数因素，因为不需要进行概率分析。

解决方案是将键值存储在外部数组A中并覆盖堆的比较函数，以便根据存储在A中的相应值来比较其中的元素。

换句话说，许多堆实现中的默认比较函数如下所示。

function compare(a, b):
    return a < b

更新时，您会将其更改为：

function compare(a, b):
    return A[a] < A[b]

在数组A中，每个顶点v都有一个相应的单元格，导致 O（n）额外的空间使用，就像你的HashMap想法一样。但是，在向已发现的节点添加v时更新该值，即使在最坏的情况下也会花费 O（1）时间。

可能无法根据您实现的编程语言和用于堆的库进行此更新，但可以使用多种语言和语言，包括但不限于C ++的std。 :: STL的priority_queue。如果您正在尝试使用这样的自定义数据结构，那么您也可以使用自定义堆实现来实现它。

保持Prim算法的不变性

1 个答案: