Question

我是一名自学成才的计算机科学专业的学生。现在我正在阅读CLRS，我做了2.2-2练习，这是关于选择排序。

第一个数组下标是1.

我写的伪代码是：

FOR i=1 to A.length - 1
    FOR j=i+1 to A.length
        IF A[j] < A[i]
            new_index=j
    IF new_index > i
        tmp = A[i]
        A[i] = A[new_index]
        A[new_index] = A[i]

我的理由是：
第一次循环测试执行n次（1,2,3 ... n）。当我变成n时，循环停止。因此第5行执行（n-1）次，依此类推。

然后我认为执行第二次循环测试（n ^ 2 + n - 2）/ 2次。当初始j = 2时，假定：2,3,4,5 ...（n + 1），循环测试执行n次，当j = 3时执行循环测试（n - 1）次，所以上。所以当j = n时，循环测试执行2次。

出于这个原因，执行第二个循环测试： 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = [（n-1）*（n + 2）] / 2 =（n ^ 2 + n - 2）/ 2。因此执行第二个循环的内部if：1 + 2 + 3 + 4 + ... +（n-1）= [（n-1）* n] / 2.

在写这篇文章之前，我读了许多假设的解决方案，但没有人等于我的。所以我想知道我的推理是否错误。

我希望我能以良好的形式写下所有细节。

Answer 1

伪代码是正确的，你的分析是正确的，但你的解决方案在推理中有一些错误。

一些提示

然后我认为第二次循环测试是执行（n ^ 2 + n - 2）/ 2次

执行n（n-1）/ 2次。请参阅下面的解决方案。

当初始j = 2时，它假设：2,3,4,5 ... （n + 1），循环测试执行 n 次，

记住代码是：FOR j=i+1 to A.length，所以当内部for循环从j = 2开始时，它会上升到j = A.length，即它上升到j = n。换句话说，它为j = 2,3,4，...，n重复执行，因此总共 n - 1次，而不是 n次！

由于这个原因，执行第二次循环测试：2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = [（n-1）*（n + 2）] / 2 =（n ^ 2 + n - 2）/ 2.因此执行第二个循环的内部if：1 + 2 + 3 + 4 + ... +（n-1）= [（n-1）* n] / 2.

假设第二个循环的if语句的主体总是执行（if条件总是为真），那么它应该执行相同的次数第二次循环测试。所以我不遵循你的推理。至于求和，要找到迭代次数，您需要加上以下内容：

j = 1：执行（n-1）次
j = 2：执行（n-2）次
j = 3：执行（n-3）次
...
j = n：执行1次

所以你需要加起来：（n-1）+（n-2）+（n-3）+ ... + 1 = n（n-1）/ 2

解决方案

内部for循环执行完全 C（n，2）= n（n-1）/ 2次。该循环产生所有对（i，j），使得1 <= i <1。 j＆lt; = n - 来自组合学的 n-choose-2 或C（n，2）。
if语句体（new_index=j）最多执行 n（n-1）/ 2次 - 我们不确切知道多少因为我们不知道是什么A中的值是 - 所以我们不知道A[j] < A[i]多少次。它可以执行零次（考虑数组排序时的情况）。但是，我们通过假设条件始终为真来找到上限。在这种最坏的情况下，if语句的主体执行与内部for循环相同的次数 - 从前一个项目符号点开始是n（n-1）/ 2

通过类似的推理，另一个if语句体（执行交换的那个）最多执行 n次。

总的来说，该算法恰好执行具有Θ（1）工作的内部for循环迭代的n（n-1）/ 2次迭代 - 并且恰好n次迭代的if语句在Θ（1）时间内执行交换。这给出了时间复杂度Θ（n ^ 2）。

选择排序CLRS - 推理的正确性

1 个答案:

一些提示

解决方案