开发一种求和递归的动态规划算法

Question

我正在读考试，教授给了我们一些我们没有答案的练习题。这是其中之一，但我一直在努力，甚至不知道我是否朝着正确的方向前进。我甚至都没有要求回答 - 只是有人指出我正确的方向？

我应该为以下使用expected number of acyclic orientations in a graph找到this recurrence的函数开发一个动态编程算法（O（n ^ 2））。

我认为我应该使用主定理或展开和求解来解决复发，以简化/解决重现，然后从那里开发算法？任何提示或线索将非常感激。谢谢！

Answer 1

当您提供所需的两个公式时，您可以通过以下步骤找到所需内容：

1. 使用O（n ^ 2）预先计算nCr（尽可能大的n）
2. 使用重复平方法预先计算（1 + x）^ n（我想你知道x的域？所以对于所有n来说它是O（n lgn）
3. 使用那些预先计算的值计算A_n（X），你有至多O（n）个子问题要计算，每个使用O（n）给出O（n ^ 2）

<强>编辑：

对于要在(1+x)^i(n-i)中为i计算[0,n]的第2点，虽然最大功率可以达到n ^ 2，但实际上只有{{1实例，我们不需要计算所有功率到n ^ 2。

让我们记下n中不同i的幂次序：0，n-1,2（n-2），3（n-3）.. （N-1）（1）

我们可以像

那样预先计算它们
＆＃13;
＆＃13;
[0,n]
＆＃13;
＆＃13;
＆＃13;

现在，总计算它们的复杂性是多少？总结一下吧！

function repeat_squaring(base, power){ //O(lg (power)) } for(int i=0; i<=n; i++){ repeat_squaring(1+x, i*(n-i)); }

对于T = O(lg n + lg(2n) + lg(3n) + ... lg(n*n)) = O(summation(lg(i)) + nlg(n)) = O(lg(n!) + nlgn) = O(n lg n)的复杂性，有两种推理方法，一种是着名的斯特林近似，另一种方式是这篇文章：log(n!)

EDITED2：缩小问题



我观察O(lg(n!))等的(1+x)^(i(N-i))模式

您可以看到，我们可以从已经计算过的N = n, n-1, n-2

中获得较小(1+x)^j的{​​{1}}一词

如上所述，我们使用A_n()来预先计算(1+x)^(i(N-i))时的权限，我们也可以使用O(n lg n)为{{N = n预先计算所有O(n lg n) 1}}

现在，如图所示，对于连续(1+x)^i值（i in [0..n]）的术语(1+x)^(i(N-i))，您确实可以使用N乘以/除以某个{{1}其中n vs n-1, n-1 vs n-2 ...（取决于您的实施，自下而上/自上而下）

所以我仍然认为你只需要O(1)预先计算这些权力，并在需要时使用(1+x)^i动态地将它们转换为其他权力。 （你可以认为，你同时在i in [0..n]和O(n lgn)进行动态编程）

<强> TL; DR 当然，如果您不希望事情过于复杂，您可以使用O(1)为所有(1+x)^(i(N-i)) A_i() O(n^2)单独建立一个DP

＆＃13;
＆＃13;
(1+x)^(i(N-i))
＆＃13;
＆＃13;
＆＃13;