通过3点相关来对齐点云？

Question

假设我有3个点云：首先有3个点{x1，y1，z1}，{x2，y2，z2}，{x3，y3，z3}和第二个点云，其点数与{xx1相同，yy1，zz1}，{xx2，yy2，zz2}，{xx3，yy3，zz3} ...我假设将第二个点云对齐到第一个我必须将第二个点乘以T [3x3矩阵]。

1）那么如何找到这个变换矩阵（T）？我试图手工完成方程式，但未能解决它们。在某个地方是否有解决方案，因为我很确定我不是第一个遇到问题的人。

2）我认为矩阵可能包括倾斜和剪切。有没有办法找到只有7个自由度的矩阵（3个翻译，3个旋转，1个刻度）？

Answer 1

转换矩阵T1，它将单位矢量{1,0,0}，{0,1,0}和{0,0,1}转换为{x1，y1，z1}，{x2，y2， z2}，{x3，y3，z3}只是

     | x1 x2 x3 |
T1 = | y1 y2 y3 |
     | z1 z2 z3 |

同样，将这3个单位向量带到第二组点的变换T2是

     | xx1 xx2 xx3 |
T2 = | yy1 yy1 yy3 |
     | zz1 zz2 zz3 |

因此，将前三个点指向后三个点的矩阵由T2 * T1 ^-1 给出。如果T1是非奇异的，则该变换是唯一确定的，因此它没有自由度。如果T1是奇异矩阵，则可能没有解，或者可能存在无限多的解。

当你说你想要7个自由度时，这有点滥用术语。在一般情况下，该矩阵由3个旋转自由度，3个缩放度和3个剪切度组成，总共为9.您可以通过执行QR factorization来计算出这些参数。 Q矩阵为您提供旋转参数，R矩阵为您提供缩放参数（沿对角线）和剪切参数（在对角线上方）。

Answer 2

Adam Rosenfield的方法是正确的。但是T2 * Inv（T1）的解决方案是错误的。因为在矩阵乘法中A * B！= B * A：因此结果是Inv（T1）* T2

Answer 3

您正在谈论的seven parameter transformation被称为3d保形变换，或者有时称为三维相似变换，因为这两个云是相似的。如果两个形状相同，亚当罗森菲尔德解决方案是好的。如果存在小的差异，并且希望得到最佳拟合，则最常用的解决方案是Helmert transformation，它使用最小二乘法来最小化残差。这个维基百科和谷歌的东西一目了然看起来不太好。我对此的参考是Ghilani＆amp;沃尔夫adjustment computations，第345页。这也是一本关于矩阵数学的好书，适用于空间问题和图书馆的一个很好的补充。

编辑：此转换的Adam的9参数版本称为affine transformation

Answer 4

这里是example计算R中2D仿射变换参数的最小二乘估计值。