最小值与最大值乘积之和

Question

给定以下F（A，B，C）的布尔表达式：F（A，B，C）= A'+ B + C' 关于上述表达式，以下哪些陈述是正确的？

（i）这是一个SOP表达 （ii）它是POS表达 （iii）这是一个min-of-minterms表达式 （iv）它是maxterms表达式的产物

这个问题的模型答案是i），ii）和iv）

我的问题是为什么iii）不是答案之一？我绘制了K-map，发现它可以得出这样一个总和表达式

Answer 1

如果包含所有文字（给定函数的变量或它们的否定），则布尔表达式中的文字簇仅形成minterm或maxterm。

minterm是函数的所有文字的乘积，maxterm是函数的所有文字的总和。

在K-map中，minterm或maxterm仅标记一个单元格。在真值表中，maxterm或minterm只匹配一行。

以下真值表对应于给定的函数：

 index | a | b | c || f(a,b,c) | term matching the row/K-map cell
-------|---|---|---||----------|----------------------------------
   0   | 0 | 0 | 0 ||     1    | minterm: m0 = (¬a⋅¬b⋅¬c)
   1   | 0 | 0 | 1 ||     1    | minterm: m1 = (¬a⋅¬b⋅c)
   2   | 0 | 1 | 0 ||     1    | minterm: m2 = (¬a⋅b⋅¬c)
   3   | 0 | 1 | 1 ||     1    | minterm: m3 = (¬a⋅b⋅c)
-------|---|---|---||----------|----------------------------------
   4   | 1 | 0 | 0 ||     1    | minterm: m4 = (a⋅¬b⋅¬c)
   5   | 1 | 0 | 1 ||     0    | MAXTERM: M5 = (¬a + b + ¬c)
   6   | 1 | 1 | 0 ||     1    | minterm: m6 = (a⋅b⋅¬c)
   7   | 1 | 1 | 1 ||     1    | minterm: m7 = (a⋅b⋅c)

真值表（和你的K-map）中只有一个maxterm，唯一的最大值是将函数的输出确定为逻辑0.这是一个有效的maxterms产品表达式，即使只有一个。它也是与原始表达式相同的布尔表达式，因此它也是一个有效的maxterms产品表达式。

但是，这不是有效的minterms总和，因为没有：

f(a,b,c) = ∏(5) = M5 = (¬a + b + ¬c)

原始表达式也是minterms的总和，它需要分别标记K-map中的每个 true / one 单元格，如下所示：

f(a,b,c) = ∑(0,1,2,3,4,6,7) = m0 + m1 + m2 + m3 + m4 + m6 + m7 =
         = (¬a⋅¬b⋅¬c)+(¬a⋅¬b⋅c)+(¬a⋅b⋅¬c)+(¬a⋅b⋅c)+(a⋅¬b⋅¬c)+(a⋅b⋅¬c)+(a⋅b⋅c)

正如您所看到的，即使这两个布尔表达式彼此等效，原始的（在等式的左侧）也不会写为minterms的表达式（在右侧）等式的一面）。

(¬a+b+¬c) = (¬a⋅¬b⋅¬c)+(¬a⋅¬b⋅c)+(¬a⋅b⋅¬c)+(¬a⋅b⋅c)+(a⋅¬b⋅¬c)+(a⋅b⋅¬c)+(a⋅b⋅c)

任何产品不一个minterm，因此原始表达式可以是sum和产品之和的形式，但不是有效的加总最小项。

f(a,b,c) = (¬a + b + ¬c) = (¬a) + (b) + (¬c)

在图片中（使用latex创建）你可以看到表达式 - 它的最小DNF和最小CNF是相同的 - 以及相当于它的minterms之和。