Question

Montgomery Multiplication如何在加速计算c = m ^ e％n的加密过程中使用RSA加密？我知道蒙哥马利乘法可以有效地乘以a * b％n但是当试图找到m ^ e％n时，是否有一种更有效的方法来乘以m * me次数而不仅仅是循环并且每次计算蒙哥马利乘法？

mpz_class mod(mpz_class &m, mpz_class &exp, mpz_class &n) {
        //End goal is to return m^exp%n
//      cout << "Begin mod";
        mpz_class orig_m = m; //the original message
        mpz_class loc_m = m;  //local value of m (to be changed as you cycle through)
        cout << "m: " << m << " exp: " << exp << " n: " << n << endl;

        //Conversion to the montgomery world
        mpz_class mm_xp = (loc_m*r)%n;
        mpz_class mm_yp = (orig_m*r)%n;

        for(int i=0; i < exp-1; i++) //Repeat multiplaction "exp" number of times
        {
                 mm(mm_xp, mm_yp, n); //montgomery multiplication algorithm returns m*orig_m%n but in the montgomery world form
        }

        mm_xp = (mm_xp*r_p)%n; //convert from montgomery world to normal numbers
        return mm_xp;
}

我正在使用gmp库，所以我可以在这里使用更大的数字。 r和r_p在一个单独的函数中预先计算并且是全局的。在这个例子中，我正在以10的幂工作（虽然我意识到使用2的幂更有效率）

我在乘法之前转换为蒙哥马利形式，并在for循环中重复乘以m * m，在m ^ e步骤结束时转换回正常世界。我很想知道是否有另一种方法以不同的方式计算操作m ^ e％n，而不是仅仅在for循环中循环？截至目前，我认为这是计算的瓶颈，但我很可能是错的。

实际的蒙哥马利乘法步骤发生在下面的函数中。

void mm(mpz_class &ret, const mpz_class &y, const mpz_class &n)
{
        mpz_class a = ret*y;

        while(a%r != 0)
        {
                a += n;
        }
        ret = a/r; //ret*y%n in montgomery form
//      cout << ret << endl;
}

这就是RSA加密如何与蒙哥马利乘法优化一起工作的？

Answer 1

不，您不希望自己e乘以m来计算RSA。

您通常希望通过重复平方来做m ^e mod n（还有其他可能性，但这是一个很简单的适用于许多典型目的）。

在previous post on RSA中，我添加了一个使用pow_mod函数的实现。反过来，它使用mul_mod函数。蒙哥马利乘法（基本上）是mul_mod函数的一种实现，它更适合处理大数。然而，为了使其有用，您至少需要对pow_mod函数的一般顺序进行操作，而不仅仅是对e进行mul_mod调用的循环。

考虑到实际使用RSA所涉及的数量的大小，尝试使用重复乘法计算m ^e modn可能需要数年（很可能是相当多年）来完成甚至单个加密。换句话说，一个不同的算法不仅仅是一个很好的优化 - 它绝对有必要用于实用。

用算法来表示，使用普通乘法提高A ^B基本上是O（B）。使用那里显示的重复平方算法，它基本上是O（log B）。如果B非常大，那么两者之间的区别是巨大的。

RSA中的蒙哥马利乘法：c = m ^ e％n

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