背景

Question

背景

我尝试使用各种不同的蒙哥马利方法在硬件（xilinx ZYNQ FPGA）中实现RSA 2048。我正在使用Xilinx HLS（主要是合成到硬件中的C ++代码）实现该算法。

注意：为了这篇文章，将其视为标准C ++实现，除了我可以使用最多4096位宽的位向量的变量，并使用{{1访问单个位}或foo[bit]语法。我还没有将它并行化，所以它应该像标准的C ++代码一样。请不要害怕并停止阅读，因为我说过FPGA和HLS这个词。只需将此处理为C ++代码即可。

我已经能够获得一个使用标准平方和乘法进行模幂运算的工作原型，以及用于模乘的标准基数-2 MM算法，但是它占用了太多的空间。 FPGA和我需要使用资源较少的算法。

为了节省空间，我尝试实施 Tenka-koc可扩展多字词基础2蒙哥马利乘法（MWR2MM）提议here。我已经挣扎了一个月，但无济于事。然而，由于我的挣扎而产生了一个我无法弄清楚的有趣问题。

问题

我的问题是MWR2MM在执行蒙哥马利乘法时没有返回正确的答案。但是，我开始认为这不是编码错误，而是我只是误解了对算法用法至关重要的东西。

MWR2MM算法有多种变体，实现方式各不相同，我试图实现其中的许多变体。我目前有4种不同的MWR2MM编码实现，全部基于对许多论文中提出的算法的修改。 是什么让我觉得我的实现实际上是正确的，所有这些不同版本的算法都返回相同的INCORRECT答案！我不认为这是巧合，但我也不知道＃39;认为发布的算法是错误的......因此，我认为实际上正在发生更恶毒的事情，我的算法实现是正确的。

示例1

例如，采用tenca-koc论文中提出的原始MWR2MM，我们将其称为MWR2MM_CSA，因为算法的加法操作在实施时都使用进位保存加法器（CSA）在硬件中。

S是部分和
M是模量
Y是被乘数
X是乘数，x_i（下标）是单个位（例如X =（x_n，...，x_1，x_0）。
上标是单词向量（例如M =（0，M ^ {e-1}，...，M ^ 1，M ^ 0）
（A，B）是两个位向量的串联。
m是操作数宽度
w是选择词的宽度
e是完成向量所需的w位字数（例如e = ceil（（m + 1）/ w））

我对此算法的实现使用以下参数：

foo.range(7,0)
MWR2MM_m = 2048 (operand size, m from above)
MWR2MM_w = 8 (word size, w from above)
MWR2MM_e = ceil( (e+1)/w ) = 257 (number of words + 1 per operand, e from above)是您在HLS中声明位向量的方式

我的代码：

ap_uint<NUM_BITS>

现在，我的理解是（引自上面的论文）

蒙哥马利乘法（MM）算法对两个整数X和Y，使用n位精度所需的参数，将导致数字MM（X，Y，M）= X Y （2 ^ -n）（模m），其中r = 2 ^ n且M是范围（2 ^（n-1），2 ^（n））中的整数，使得gcd（r，M）= 1。以来 r = 2 ^ n，模数M为奇数是足够的。

因此，我们应该期待以下结果（用软件库验证）：

void mwr2mm_csa( ap_uint<MWR2MM_m> X,
                 ap_uint<MWR2MM_w> Y[MWR2MM_e+1],
                 ap_uint<MWR2MM_w> M[MWR2MM_e+1],
                 ap_uint<MWR2MM_m> *out)
{
    // Declare and zero partial sum S
    ap_uint<MWR2MM_w> S[MWR2MM_e] = 0;
    for (int i=0; i<MWR2MM_e; i++)
        S[i] = 0;

    // Two Carry bits
    ap_uint<1> Ca=0, Cb=0;

    for (int i=0; i<MWR2MM_m; i++)
    {
        (Ca,S[0]) = X[i]*Y[0] + S[0]; // this is how HLS concatenates vectors, just like in the paper!
        if (S[0][0] == 1) // if the 0th bit of the 0th word is 1
        {
            (Cb,S[0]) = S[0] + M[0];
            for (int j=1; j<=MWR2MM_e; j++)
            {   
                (Ca, S[j]) = Ca + X[i]*Y[j] + S[j];
                (Cb, S[j]) = Cb + M[j] + S[j];
                S[j-1] = ( S[j][0], S[j-1].range(MWR2MM_w-1,1) );
            }
        }
        else
        {
            for (int j=1; j<=MWR2MM_e; j++)
            {
                (Ca, S[j]) = Ca + X[i]*Y[j] + S[j];
                S[j-1] = ( S[j][0], S[j-1].range(MWR2MM_w-1,1) );
            }
        }
    }

    // copy the result to the output pointer
    for (int i=0; i<MWR2MM_e-1; i++)
        out->range(MWR2MM_w*i+(MWR2MM_w-1), MWR2MM_w*i) = S[i].to_uchar();
}

但相反，我的算法返回

X = 0xABA5E025B607AA14F7F1B8CC88D6EC01C2D17C536508E7FA10114C9437D9616C9E1C689A4FC54744FA7DFE66D6C2FCF86E332BFD6195C13FE9E331148013987A947D9556A27A326A36C84FB38BFEFA0A0FFA2E121600A4B6AA4F9AD2F43FB1D5D3EB5EABA13D3B382FED0677DF30A089869E4E93943E913D0DC099AA320B8D8325B2FC5A5718B19254775917ED48A34E86324ADBC8549228B5C7BEEEFA86D27A44CEB204BE6F315B138A52EC714888C8A699F6000D1CD5AB9BF261373A5F14DA1F568BE70A0C97C2C3EFF0F73F7EBD47B521184DC3CA932C91022BF86DD029D21C660C7C6440D3A3AE799097642F0507DFAECAC11C2BD6941CBC66CEDEEAB744
Y = 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
M = 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
MM(X,Y,M) = 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

示例2

好的，也许这个实现错了。让我们尝试另一个修改版本，MWR2MM_CPA算法（以硬件中使用的进位传播加法器命名）：

我的MWR2MM_CSA实施：

MWR2MM_csa(X,Y,M) = 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

}

当使用相同的X，Y和M运行时，尽管存在不同的位级操作，但这也会返回与MWR2MM_CSA完全相同的错误结果。

void mwr2mm_cpa(rsaSize_t X, rsaSize_t Yin, rsaSize_t Min, rsaSize_t* out)
{
// extend operands to 2 extra words longer
ap_uint<MWR2MM_m+2*MWR2MM_w> Y = Yin; 
ap_uint<MWR2MM_m+2*MWR2MM_w> M = Min;
ap_uint<MWR2MM_m+2*MWR2MM_w> S = 0;

ap_uint<2> C = 0;
bit_t qi = 0;

// unlike the previous example, we store the concatenations in a temporary variable
ap_uint<10> temp_concat=0; 

for (int i=0; i<MWR2MM_m; i++)
{
    qi = (X[i]*Y[0]) xor S[0];

    // C gets top two bits of temp_concat, j'th word of S gets bottom 8 bits of temp_concat
    temp_concat = X[i]*Y.range(MWR2MM_w-1,0) + qi*M.range(MWR2MM_w-1,0) + S.range(MWR2MM_w-1,0);
    C = temp_concat.range(9,8);
    S.range(MWR2MM_w-1,0) = temp_concat.range(7,0);

    for (int j=1; j<=MWR2MM_e; j++)
    {
        temp_concat = C + X[i]*Y.range(MWR2MM_w*j+(MWR2MM_w-1), MWR2MM_w*j) + qi*M.range(MWR2MM_w*j+(MWR2MM_w-1), MWR2MM_w*j) + S.range(MWR2MM_w*j+(MWR2MM_w-1), MWR2MM_w*j);
        C = temp_concat.range(9,8);
        S.range(MWR2MM_w*j+(MWR2MM_w-1), MWR2MM_w*j) = temp_concat.range(7,0);

        S.range(MWR2MM_w*(j-1)+(MWR2MM_w-1), MWR2MM_w*(j-1)) = (S.bit(MWR2MM_w*j), S.range( MWR2MM_w*(j-1)+(MWR2MM_w-1), MWR2MM_w*(j-1)+1));
    }
    S.range(S.length()-1, S.length()-MWR2MM_w) = 0;
    C=0;
}

*out = S;

为了简洁起见，我将免除其他两个也返回相同错误结果的算法。我应该注意，当使用4位操作数大小和2位字大小时，这两种算法都能正常工作。但是，任何其他操作数大小/字大小组合都不正确，但对于所有四个不同的位级实现具有相同的错误结果。

我不能为我的生活找出为什么所有四种算法都返回相同的错误结果。我在第一个例子中的代码字面意思是与tenca-koc论文中提出的算法完全相同！

假设MWR2MM算法应该返回与标准基数-2 MM算法相同的结果（在蒙哥马利域中），我是不正确的？它们具有相同的基数，因此无论字大小如何，结果都应相同。我不能互相交换这些算法吗？

对于冗长的帖子感到抱歉，但我希望在解释问题所在时非常准确和连贯。 我不是要求帮助调试我的代码，而是试图弄清楚我是否误解了montgomery乘法算法的基本功能。同样好奇为什么不同的实现提供相同的错误结果。

谢谢！

Answer 1

问题在于您的算法实际返回：

0x116c27cbc37...
  ^

大于M.如果从中减去M，则得到预期的答案：

两种算法都返回0到2 * M范围内的值，因此如果答案大于或等于M，则需要最后一个减法阶段。

换句话说，如果你用随机选择的X和Y测试你的算法，你会发现它给出了正确答案的一半时间。

从论文的第2部分开始：

因此，只需要一个条件减法就可以使S [n]达到所需的范围0≤S[n]＆lt; M. 在后续讨论中将省略此减法，因为它与特定算法和体系结构无关，可以作为后处理的一部分进行处理。

对于RSA蒙哥马利乘法，不同MWR2MM算法的Bizzare相同的错误结果

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问题

示例1

示例2

1 个答案: