SVD Matlab实现

Question

我尝试编写将矩阵分解为SVD格式的matlab代码。

“理论”：

为了得到U，我找到了AA'的特征向量，为了得到V，我找到了A'A的特征向量。最后，Sigma是一个与A相同维度的矩阵，在对角线上的特征值的根是有序序列。

但是，它似乎无法正常工作。

A=[2 4 1 3; 0 0 2 1];

% Get U, V
[aatVecs, aatVals] = eig(A*A');
[~, aatPermutation] = sort(sum(aatVals), 'descend');
U = aatVecs(:, aatPermutation);

[ataVecs, ataVals] = eig(A'*A);
[~, ataPermutation] = sort(sum(ataVals), 'descend');
V = ataVecs(:, ataPermutation);

% Get Sigma
singularValues = sum(aatVals(:, aatPermutation)).^0.5;
sigma=zeros(size(A));
for i=1:nnz(singularValues)
    sigma(i, i) = singularValues(i);
end

A
U*sigma*V'

U * sigma * V'似乎以-1的系数返回：

ans =

-2.0000   -4.0000   -1.0000   -3.0000
0.0000    0.0000   -2.0000   -1.0000

导致它的代码或“理论”中的错误是什么？

Answer 1

特征向量不是唯一的（因为根据定义Av==λv，任何w μw==v和μ~=0也是一个特征向量。恰好，eig返回的特征向量不能以正确的方式匹配SVD（即使它们被标准化）。

但是，我们可以在U后构建V，我们会在算法中找到A'*A的特征向量。找到V作为已排序的特征向量后，您必须找到要匹配的U。由于V是正交的，A*V == U*sigma。所以我们可以设置

U = [A*V(:,1)./singularValues(1) A*V(:,2)./singularValues(2)];

实际上，A == U*sigma*V'，特别是此处找到的U与您的算法中找到的U完全相反。