对于某些x，将（log n）^ n转换为n ^ x形式

Question

对于某些x，如何将（log n）^ n转换为n ^ x形式？我想直接将（log n）^ n的big-O运行时与n ^（log n）进行比较。直觉上，我认为（log n）^ n增长得更快，因为指数增长得更快，但我不确定如何证明它。谢谢。

Answer 1

这可能不是展示某些东西最严格的方式，但我想这可能有助于建立对所发生事件的直觉，并希望将其充实为证据

您想要将$ \ log（n）^ n $与$ n ^ {\ log（n）} $进行比较。取两者的对数，然后取平方根。然后，您想要将$ \ sqrt {n} \ sqrt {\ log（\ log（n）））} $与$ \ log（n）$进行比较。现在任何$ n $的功率都会比$ \ log（n）$更快。因此$ \ log（n）^ n $的增长速度快于$ n ^ {\ log（n）} $。

（我如何格式化这个？）