GSL / BLAS：将矩阵与逆矩阵相乘

Question

我正在使用GNU GSL进行一些矩阵计算。我试图将矩阵B乘以矩阵A的倒数。

现在我注意到GSL的BLAS部分有一个这样做的功能，但只有当A是三角形的时候。这有什么特别的原因吗？此外，进行此计算的最快方法是什么？我应该使用LU分解来反转A，还是有更好的方法？

FWIW，A的形式为P' G P，其中P是正常矩阵，P'是逆矩阵，G是对角矩阵。

非常感谢：）

Answer 1

我相信Adrien是正确的，因为BLAS没有方形矩阵的反函数。它取决于您用来优化其逆的微积分的矩阵。

通常，您可以使用LU分解，它对任何方阵都有效。我是这样的：

gsl_linalg_LU_decomp(A, p, signum);
gsl_linalg_LU_invert(A, p, invA);

其中A是你希望其反转的方阵，p是gsl_permutation个对象（置换矩阵被编码的置换对象），signum是置换的符号，invA是A的倒数。

由于您声明A = P' G P为P正常且G对角线，因此A可能是正常矩阵。我有一段时间没有使用它们，但必须有一个分解定理，你可以在Chapter 14 of the GSL reference manual或更好的线性代数书中找到它。

举个例子，如果你有对称正定矩阵并想找到它的逆矩阵，你可以使用Cholesky分解，它是针对那种矩阵进行优化的。然后，您可以在GSL中使用gsl_linalg_cholesky_decomp()和gsl_linalg_cholesky_invert()函数来提高效率。

我希望它有所帮助！

Answer 2

简而言之：

仅支持三角矩阵的事实仅仅是因为这种操作对于三角矩阵（其称为反向替换）非常容易执行，而BLAS仅提供低级函数的例程。任何更高级别的函数通常都在LAPACK中找到，它在内部使用BLAS进行逐块操作。

在您正在处理的特定情况下：A:=P'*G*P，如果P是普通矩阵，则A的倒数可以写为inv(A) := P'*inv(G)*P。然后你有两个选择：

1. 构建inv(A)并将其与B相乘。
2. 依次将B乘以inv(A)的不同因子：将B乘以P（左侧），然后使用对角元素的倒数重新缩放结果的每一行G然后再次与P'相乘（再次左）。

根据具体情况，您可以选择您的方法。无论如何，你需要dgemm（矩阵 - 矩阵乘法，Lvl3 BLAS）和dscal（线的缩放，Lvl 1 BLAS），假设是双精度。

希望这有帮助。

一个。