如何计算两个（或更多）矩形的并集多边形

Question

例如，我们有两个矩形，它们重叠。我想得到他们联合的确切范围。计算这个的好方法是什么？

这是两个重叠的矩形。假设顶点的绳索都是已知的：

如何计算联合多边形顶点的绳索？如果我有两个以上的矩形怎么办？

Answer 1

存在Line Sweep Algorithm来计算n个矩形的并集区域。有关算法的详细信息，请参阅链接。

如文章中所述，在O（N ^ 2）时间内存在布尔数组实现。使用正确的数据结构（平衡二进制搜索树），可以将其缩短为O（NlogN）时间。

可以扩展上面的算法以确定顶点。

<强>详细信息：

按如下方式修改事件处理：

在活动集中添加/删除边时，请注意边的起点和终点。如果任何一点位于已存在的活动集内，则它不构成顶点，否则就是。

通过这种方式，您可以找到合成多边形的所有顶点。

请注意，上面的方法可以扩展到一般多边形，但更多涉及。

Answer 2

查看二进制空间分区（BSP）。

https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_space_partitioning

如果你只有两个矩形，那么一些黑客可以产生一些结果，但是为了找到多个多边形的交叉点和联合，你需要实现BSP。

Schneider和Eberly的计算机图形几何工具的第13章介绍了BSP。请务必下载本书的勘误表！

Eberly是其中一位合着者，拥有一个精彩的网站，其中包含PDF和个别主题的代码示例：

https://www.geometrictools.com/

http://www.geometrictools.com/Books/Books.html

Answer 3

对于一种相对简单可靠的方法，您可以按照以下方式工作：

• 独立地对所有横坐标（垂直边）和纵坐标（水平边）进行排序，并丢弃任何副本。

• 这将建立坐标和整数索引之间的映射。

• 创建一个大小为NxN的二进制图像，填充黑色。

• 对于每个矩形，在相应的索引之间填充白色图像。

• 然后扫描图像以contour tracing找到角落，并恢复原始坐标。

此过程效率不高，因为它需要与N²成比例的时间加上矩形的（逻辑）区域的总和，但它对于适量的矩形可能很有用。它很容易处理巧合。

在两个矩形的情况下，可能没有太多不同的配置，您可以预先计算所有顶点序列以获得可能的配置（2 ^ 9个可能图像的一小部分）。

无需显式创建图像，只需将顶点序列与输入X和Y的可能排列相关联。

Answer 4

就我个人而言，我认为应该解决这个问题，因为所有其他几何问题都在工程程序/语言，网格化中得到解决。 因此，首先将顶点转换为固定大小的矩形网格，例如： MatLab meshgrid 然后遍历所有网格元素并删除任何具有重复边元素的元素。现在将剩余网格的数量相加，并将其乘以您选择的网格区域。