Question

在最终理解了KMP算法之后，其复杂性仍不清楚。对于模式M的长度和文本N的长度，我知道，在最坏的情况下它是O（N + M）（仍然无法解释，为什么），但为什么它在平均值为O（N）案件？提前感谢您的帮助。

Answer 1

在这个答案中，我将解决你问题的这一部分。

对于模式M的长度和文本N的长度，我知道，在最坏的情况是O（N + M）（仍然无法解释，为什么）

我将尝试解释为什么计算失败函数（KMP算法中的预处理步骤）需要线性时间，并且您可以对算法的字符串匹配部分的运行时间使用类似的分析。

代码（取自here）：

KNUTH-MORRIS-PRATT FAILURE（P）

Input : Pattern with N characters
Output: Failure function f for pattern P

i ← 1
matched ← 0
f(0) ← 0
while i < N do
 if P[matched] = P[i]
     f(i) ← j +1
     i ← i +1
     matched← matched + 1
 else if matched>0
     matched ← f(matched - 1)
 else
     f(i) ← 0
     i ← i +1

计算失败函数的运行时间= while循环的最大迭代次数。

while循环的迭代次数=成功匹配的次数+                                        不成功的比赛次数

我们称之为声明（1）

设N =模式的长度。

成功比赛次数＆lt; = N
  （例如，检查这种模式“aaaa”）

我们称之为声明（2）

不成功的比赛数量有点棘手。

让我们举一个例子模式“aaabcaaabce”

对于此模式，数组为：

| 0 | 1 | 2 | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 |

请注意，在索引3中，当发生不匹配时，当我们下降到0时，我们最多可以做2次不匹配，换句话说，我们只能做到与到目前为止匹配的字符数一样多的不匹配。

因此，每次在索引i处发生不匹配时，该索引处的最大不匹配数i最多可以是到目前为止匹配的字符数（在索引i-1处）。

直观地说，在整个数组上匹配的字符数只是数组中非零的条目。因为非零条目意味着匹配。从那以后，

不成功匹配的最大数量=匹配的字符数

=＆GT;整个阵列上不成功匹配的最大数量

=数组上的最大字符匹配数

=数组中非零的条目数

＆lt; = N

因此，数组上的最大不成功匹配数＆lt; = N

我们称之为声明（3）

将（1），（2）和（3）放在一起：

总运行时间=成功匹配的运行时间+不成功匹配的运行时间

运行时间＆lt; = N + N

运行时间＆lt; = 2 * N

计算失败函数的运行时间= O（N）

为什么KMP O（N）的正常情况复杂？

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