Question

对于家庭作业，我们会给出一个名为“Septenary Search＆＃34;这就像二进制搜索，但不是将数据结构减半，而是将其细分为7组。我们要求通过编写递推方程并求解它来证明最坏情况运行时是在BigTheta（log n）中。

以下是septenary搜索的伪代码：

septenarySearch(L, s):
  HELPER(L, 0, L.length-1, s)

HELPER(L, Lo, Hi, s):
  if Hi - Lo + 1 > 7:
    basic_group_size = floor((Hi - Lo + 1) / 7)
    number_of_larger_groups = (Hi - Lo + 1) % 7
    for i in 0 .. 6:
      group_size = basic_group_size
      if i < number_of_larger_groups:
        group_size = group_size + 1
      first_element_of_group = i*group_size
      last_element_of_group = (i+1)*group_size - 1
      if L[first_element_of_group] <= s <= L[last_element_of_group]:
        return HELPER(L, first_element_of_group, last_element_of_group, s)
  else:
    for index in Lo .. Hi:
    if s == L[index]:
      return true
    return false

我们还得到了一个提示，即考虑的元素数量在对HELPER的递归调用中，至少是传入的范围（Lo和Hi之间）的1/7，并且数量不超过1/4。

我非常确定其中一个递推方程是T(n) = c + T(n/7)，其中c是一个常数值，我认为这会得到BigO（log n）。如果我试图证明Big Theta，我还需要证明BigOmega（log n），对吗？我如何找到BigOmega是什么？

我确定1/4应该用于查找BigOmega，但不确定如何做到这一点（或者甚至是1/4来自的地方）。

Answer 1

提示：

Number of elements in recursive call >= n/7                     (+)
Number of elements in recursive call <= n/4                     (++)

因此，算法运行时间的下限和上限由

给出

Lower bound: 
Assume all recursive calls contains n/7 number of elements from
range passed to previous call call (n elements). 
Recurrence relation: 

     T_L(n) = T(n/7) + c                                        (i)

Upper bound: 
Assume all recursive calls contains n/4 number of elements from
range passed to previous call call (n elements). 
Recurrence relation:  

     T_U(n) = T(n/4) + c                                        (ii)

您可以通过展开递归来解决(i)和(ii)，这将直接为您提供Big-Θ关系：

现在，您被问及最坏情况的复杂性，在这种情况下T(n) = T_U(n)。因此，最坏的情况是T(n) ∈ Θ(log_4 n)。

Answer 2

基本上这个算法的作用是：

获取大小为L

n

将其拆分为7个子列表，其大小为n/7到n/7 + 1
检查您的元素可能在哪个子列表中。
在此子列表上递归运行算法。

所以递归关系充其量只是

T(n)  = T(n/7) + c

最糟糕的情况是

T(n) = T(n/7 + 1) + c  ≤  T(n/4) + c

1/4来自于使用d和floor(n/7) + 1 = n/d最小化n > 7中的n mod 7 ≠ 0。它被n = 8最小化，并产生d = 4。

您现在可以使用masters theorem解决此问题。

这导致每个最佳和最差情况T(n) ∈ Θ(log n)（因为忽略不同的日志基础等常数因素）

你怎么弄清楚Septenary Search的Big O和Big Omega？

2 个答案: