算法分析（Big O和Big Omega）

Question

我在考试中错了这个问题：命名一个既不是O（n）也不是Omega（n）的函数。

在尝试通过youtube自己学习这些东西后，我认为这可能是一个正确的答案：

  

（n ³ （1 + sin n））既不是O（n）也不是Omega（n）。

这会准确吗？

Answer 1

  

命名既不是O（n）也不是Omega（n）

的函数

说f ∈ O(g)表示商

f(x)/g(x)

对于所有足够大的x，

从上面开始。

另一方面，

f ∈ Ω(g)表示商

f(x)/g(x)

对于所有足够大的x，

与零相差很远。

所以找到既不是O(n)也不是Ω(n)的函数意味着找到一个函数f，使得商

f(x)/x

变得任意大，并且在每个区间[y, ∞)任意接近于零。

  

我认为这可能是一个正确答案：(n^3 (1 + sin n))既不是O（n）也不是Omega（n）。

让我们把它插入我们的商：

(n^3*(1 + sin n))/n = n^2*(1 + sin n)

n^2增长到无穷大，系数1 + sin n大于1，大约每六个n中有三个[y, ∞)。因此，每个区间K > 0的商数变得任意大。给定N_0 = y + K + 1个N_1，N_0 + i, i = 0, 1, ..., 4和sin (N_0+i) > 0最小f(N_1)/N_1 > (y + K + 1)² > K² + K > K，Ω(n)。然后是sin n。

对于cos (π*n)部分，虽然我认为它很满意，但要证明并不容易。

但是，我们可以对函数进行一些修改，保留将增长函数与振荡函数相乘的思想，使证明变得简单。

让我们选择f'(n) = n^3*(1 + cos (π*n) + 1/n^4) ，而不是 / n^3*(2 + 1/n^4), if n is even f'(n) = < \ 1/n , if n is odd ，并且为了抵消零，请为其添加快速递减函数。

f'

现在，

n

很明显{{1}}既不是来自上方，也不是来自{{1}}的任何正常数倍。

Answer 2

我会考虑二进制搜索。这是O（log N）和Ω（log N）。由于Omega被定义为下限，因此不允许超出函数本身 - 因此O（log N）绝对不是Ω（N）。

我认为对删除的答案的一些评论值得一些......澄清 - 甚至可能是彻底的纠正。引用CLRS，“Ω符号表示函数的下界在常数因子内。”

由于N ² 与N的差异大于常数因子，因此N ² 不是Ω（N）。