Question

我试图在Matlab中使用FFT获得傅立叶级数系数。它们具有正确的绝对值，但我也需要这些术语的标志。

t = linspace(-pi,pi,512);
L = length(t);

S = t; % Function

c = fft(S)/L
a = c(2:end)+c(end:-1:2)
b = (c(2:end)-c(end:-1:2))*i

%The first/last b-terms should be 2, -1, 0.66, -0.50...

我在这里做错了什么？

Answer 1

鉴于您如何定义t和S，您似乎正在尝试获取周期性连续时间函数的傅立叶级数系数：

$\begin{align}f\left(t\right) &= t & \mbox{for } t \in (-\pi,\pi)\end{align}$

可以通过分析评估（或在傅立叶变换表中查找）：

$\begin{align}2\sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^{n+1}}{n} \sin\left(n x\right)\end{align}$

问题在于，当您调用fft时，您没有传递时间变量，因为它隐含地将时间与＃34; 0＆＃34;第一个数据样本。如果我们绘制fft看到的函数的结果周期性扩展，您应该注意到时间偏移（与上面的S与t图相比）：

幸运的是，您可以使用ifftshift撤消此转变。您还应该注意，为了使反余弦函数（与原始连续时间函数一样），余弦系数正好为零（或者至少在可用的数值精度范围内），您需要使用奇数样本数量。这应该给你以下代码：

N = 512;
t = linspace(-pi,pi,N-1); % use odd number of samples to get anti-symmetric signal
L = length(t);
S = ifftshift(t);         % ifftshift swaps lower & upper half of t, yielding S(1)=0

c = fft(S)/L;
a = c(2:end)+c(end:-1:2);
b = (c(2:end)-c(end:-1:2))*1i;

以及相应的前10个b系数（现在符合您的预期和上面引用的分析结果）：

Matlab中的傅里叶级数系数使用FFT不是负的

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Matlab中的傅里叶级数系数​​使用FFT不是负的

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Matlab中的傅里叶级数系数使用FFT不是负的