计算上限算法的步骤

Question

我知道如果我有一个for循环和一个嵌套for循环，它们都迭代1 to n次，我可以将两个循环的运行时间相乘得到O(n^2)。这是一个简洁而简单的计算。但是，如果你有这样的迭代，

n = 2, k = 5

n = 3, k = 9

n = 4, k = 14

其中k是内部for循环迭代的次数。在某一时刻，它大于n^2，然后它正好是n^2，然后它变得小于n^2。假设您无法根据k确定n，甚至可能将这些点n分开很远，您如何计算Big-O？

我尝试过制图。有一点，我可以说它是O(n^3)，因为有些点超过n^2，而进一步向下，它会是O(n^2)。我应该选择哪一个？

Answer 1

您在问题中说明k是：

  

＆＃34; ...有一次，它大于n^2＆＃34;

这是你问题中的不确定性（或非特异性），这使得很难严格回答。无论如何，对于本答复的其余部分，我们将假设您在上面引用的含义是：

  

对于n的所有值，k(n)的值都是从上方开始的   C·n^2，对于某些常数C>0。

从此处开始，我们将此语句称为(+)。

现在，既然你提到了Big-O符号，我们就会稍微松散地定义这实际意味着什么：

  

f(n) = O(g(n))表示c · g(n)是f(n)上的上限。从而   存在一些常量c，f(n)总是≤ c · g(n)，   适用于足够大的n （即某些常量n ≥ n0为n0）。

即，Big-O表示法是一种在此处描述算法的渐近（限制）行为的上限的方法。但是，你在问题中写道：

  

＆＃34;有一次，我可以说它是O(n^3)因为某些点超过n^2，而进一步下降，它会是O(n^2)＆＃34 ;

现在，这是一个非常具体的分析，分析了算法的内部循环如何对n的特定值进行表达，而且实际上并不是与渐近分析（或Big-O表示法）相关的东西。我们对有关n的特定值的算法行为的具体细节不感兴趣，但是我们是否可以找到给定n的算法的一般上限是＆＃34;足够大＆＃34 34; （对于某些常数n0，n≥n0。）

现在，通过上面的这些评论，我们可以继续分析算法的渐近行为。

我们可以使用Sigma表示法来处理此问题，使用上面的(+)语句，k(n) < C·n：

最后一步(++)遵循Big-O-notation的定义，我们在上面已经松散地说明了这一点。

因此，鉴于我们将您的k信息解释为(+)，您的算法会在O(n^3)（上>绑定，但不一定是紧的）。