Question

我有一个由四点定义的立方贝塞尔曲线。我需要找到沿着三次贝塞尔曲线的时间t，其中切线等于给定的矢量。这个问题并不像第一眼看上去那么简单。我将首先解释基本的数学，因为我找到了它，因此你可以找到缺陷并可能找到更好的解决方案。

2D立方贝塞尔曲线及其正切可由these equations定义。特别是切线：

T(t) = -3(1-t)^2 * P0 + 3(1-t)^2 * P1 - 6t(1-t) * P1 - 3t^2 * P2 + 6t(1-t) * P2 + 3t^2 * P3

扩展为2D矢量：

T_x(t) = -3(1-t)^2 * x0 + 3(1-t)^2 * x1 - 6t(1-t) * x1 - 3t^2 * x2 + 6t(1-t) * x2 + 3t^2 * x3
T_y(t) = -3(1-t)^2 * y0 + 3(1-t)^2 * y1 - 6t(1-t) * y1 - 3t^2 * y2 + 6t(1-t) * y2 + 3t^2 * y3

然后我们还有一个向量（x，y）表示我们想要找到时间t的正切。

这些是简单的二次方程，所以我们只需要一个方程来解决。我们可以得到两者之间的交叉积（vx0 * vy1 - vy0 * vx1）并求解0.这将发现当三次贝塞尔曲线的正切等于我们给定的切向量时我们求解t。（我不在乎矢量是否与切线相反，所以如果我们的矢量是（1,0）那么它也会寻找（-1,0））。在Mathematica中，使用这种交叉产品方法来解决这个问题看起来像这样：

Solve[(-3(1-t)^2*x0+3(1-t)^2*x1-6t(1-t)*x1-3t^2*x2+6t(1-t)*x2+3t^2*x3)*y-(-3(1-t)^2*y0+3(1-t)^2*y1-6t(1-t)*y1-3t^2*y2+6t(1-t)*y2+3t^2*y3)*x==0,t,Reals]

然后输出Mathematica：

{{t->ConditionalExpression[(x0 y-2 x1 y+x2 y-x y0+2 x y1-x y2)/(x0 y-3 x1 y+3 x2 y-x3 y-x y0+3 x y1-3 x y2+x y3)-\[Sqrt]((x1^2 y^2-x0 x2 y^2-x1 x2 y^2+x2^2 y^2+x0 x3 y^2-x1 x3 y^2+x x2 y y0-x x3 y y0-2 x x1 y y1+x x2 y y1+x x3 y y1+x^2 y1^2+x x0 y y2+x x1 y y2-2 x x2 y y2-x^2 y0 y2-x^2 y1 y2+x^2 y2^2-x x0 y y3+x x1 y y3+x^2 y0 y3-x^2 y1 y3)/(x0 y-3 x1 y+3 x2 y-x3 y-x y0+3 x y1-3 x y2+x y3)^2),(x>(x2 y-x3 y)/(y2-y3)&&x0>(x1^2 y^2-x1 x2 y^2+x2^2 y^2-x1 x3 y^2+x x2 y y0-x x3 y y0-2 x x1 y y1+x x2 y y1+x x3 y y1+x^2 y1^2+x x1 y y2-2 x x2 y y2-x^2 y0 y2-x^2 y1 y2+x^2 y2^2+x x1 y y3+x^2 y0 y3-x^2 y1 y3)/(x2 y^2-x3 y^2-x y y2+x y y3)&&y>0&&y2>y3)||(x<(x2 y-x3 y)/(y2-y3)&&x0<(x1^2 y^2-x1 x2 y^2+x2^2 y^2-x1 x3 y^2+x x2 y y0-x x3 y y0-2 x x1 y y1+x x2 y y1+x x3 y y1+x^2 y1^2+x x1 y y2-2 x x2 y y2-x^2 y0 y2-x^2 y1 y2+x^2 y2^2+x x1 y y3+x^2 y0 y3-x^2 y1 y3)/(x2 y^2-x3 y^2-x y y2+x y y3)&&y>0&&y2>y3)||(x<(x2 y-x3 y)/(y2-y3)&&x0<(x1^2 y^2-x1 x2 y^2+x2^2 y^2-x1 x3 y^2+x x2 y y0-x x3 y y0-2 x x1 y y1+x x2 y y1+x x3 y y1+x^2 y1^2+x x1 y y2-2 x x2 y y2-x^2 y0 y2-x^2 y1 y2+x^2 y2^2+x x1 y y3+x^2 y0 y3-x^2 y1 y3)/(x2 y^2-x3 y^2-x y y2+x y y3)&&y<0&&y2<y3)||(x<(x2 y-x3 y)/(y2-y3)&&y<0&&x0>(x1^2 y^2-x1 x2 y^2+x2^2 y^2-x1 x3 y^2+x x2 y y0-x x3 y y0-2 x x1 y y1+x x2 y y1+x x3 y y1+x^2 y1^2+x x1 y y2-2 x x2 y y2-x^2 y0 y2-x^2 y1 y2+x^2 y2^2+x x1 y y3+x^2 y0 y3-x^2 y1 y3)/(x2 y^2-x3 y^2-x y y2+x y y3)&&y2>y3)||(x<(x2 y-x3 y)/(y2-y3)&&y2<y3&&x0>(x1^2 y^2-x1 x2 y^2+x2^2 y^2-x1 x3 y^2+x x2 y y0-x x3 y y0-2 x x1 y y1+x x2 y y1+x x3 y y1+x^2 y1^2+x x1 y y2-2 x x2 y y2-x^2 y0 y2-x^2 y1 y2+x^2 y2^2+x x1 y y3+x^2 y0 y3-x^2 y1 y3)/(x2 y^2-x3 y^2-x y y2+x y y3)&&y>0)||(x0<(x1^2 y^2-x1 x2 y^2+x2^2 y^2-x1 x3 y^2+x x2 y y0-x x3 y y0-2 x x1 y y1+x x2 y y1+x x3 y y1+x^2 y1^2+x x1 y y2-2 x x2 y y2-x^2 y0 y2-x^2 y1 y2+x^2 y2^2+x x1 y y3+x^2 y0 y3-x^2 y1 y3)/(x2 y^2-x3 y^2-x y y2+x y y3)&&y<0&&x>(x2 y-x3 y)/(y2-y3)&&y2>y3)||(x0<(x1^2 y^2-x1 x2 y^2+x2^2 y^2-x1 x3 y^2+x x2 y y0-x x3 y y0-2 x x1 y y1+x x2 y y1+x x3 y y1+x^2 y1^2+x x1 y y2-2 x x2 y y2-x^2 y0 y2-x^2 y1 y2+x^2 y2^2+x x1 y y3+x^2 y0 y3-x^2 y1 y3)/(x2 y^2-x3 y^2-x y y2+x y y3)&&y2<y3&&x>(x2 y-x3 y)/(y2-y3)&&y>0)||(y<0&&y2<y3&&x>(x2 y-x3 y)/(y2-y3)&&x0>(x1^2 y^2-x1 x2 y^2+x2^2 y^2-x1 x3 y^2+x x2 y y0-x x3 y y0-2 x x1 y y1+x x2 y y1+x x3 y y1+x^2 y1^2+x x1 y y2-2 x x2 y y2-x^2 y0 y2-x^2 y1 y2+x^2 y2^2+x x1 y y3+x^2 y0 y3-x^2 y1 y3)/(x2 y^2-x3 y^2-x y y2+x y y3))]},

{t->ConditionalExpression[(x0 y-2 x1 y+x2 y-x y0+2 x y1-x y2)/(x0 y-3 x1 y+3 x2 y-x3 y-x y0+3 x y1-3 x y2+x y3)+\[Sqrt]((x1^2 y^2-x0 x2 y^2-x1 x2 y^2+x2^2 y^2+x0 x3 y^2-x1 x3 y^2+x x2 y y0-x x3 y y0-2 x x1 y y1+x x2 y y1+x x3 y y1+x^2 y1^2+x x0 y y2+x x1 y y2-2 x x2 y y2-x^2 y0 y2-x^2 y1 y2+x^2 y2^2-x x0 y y3+x x1 y y3+x^2 y0 y3-x^2 y1 y3)/(x0 y-3 x1 y+3 x2 y-x3 y-x y0+3 x y1-3 x y2+x y3)^2),(x>(x2 y-x3 y)/(y2-y3)&&x0>(x1^2 y^2-x1 x2 y^2+x2^2 y^2-x1 x3 y^2+x x2 y y0-x x3 y y0-2 x x1 y y1+x x2 y y1+x x3 y y1+x^2 y1^2+x x1 y y2-2 x x2 y y2-x^2 y0 y2-x^2 y1 y2+x^2 y2^2+x x1 y y3+x^2 y0 y3-x^2 y1 y3)/(x2 y^2-x3 y^2-x y y2+x y y3)&&y>0&&y2>y3)||(x<(x2 y-x3 y)/(y2-y3)&&x0<(x1^2 y^2-x1 x2 y^2+x2^2 y^2-x1 x3 y^2+x x2 y y0-x x3 y y0-2 x x1 y y1+x x2 y y1+x x3 y y1+x^2 y1^2+x x1 y y2-2 x x2 y y2-x^2 y0 y2-x^2 y1 y2+x^2 y2^2+x x1 y y3+x^2 y0 y3-x^2 y1 y3)/(x2 y^2-x3 y^2-x y y2+x y y3)&&y>0&&y2>y3)||(x<(x2 y-x3 y)/(y2-y3)&&x0<(x1^2 y^2-x1 x2 y^2+x2^2 y^2-x1 x3 y^2+x x2 y y0-x x3 y y0-2 x x1 y y1+x x2 y y1+x x3 y y1+x^2 y1^2+x x1 y y2-2 x x2 y y2-x^2 y0 y2-x^2 y1 y2+x^2 y2^2+x x1 y y3+x^2 y0 y3-x^2 y1 y3)/(x2 y^2-x3 y^2-x y y2+x y y3)&&y<0&&y2<y3)||(x<(x2 y-x3 y)/(y2-y3)&&y<0&&x0>(x1^2 y^2-x1 x2 y^2+x2^2 y^2-x1 x3 y^2+x x2 y y0-x x3 y y0-2 x x1 y y1+x x2 y y1+x x3 y y1+x^2 y1^2+x x1 y y2-2 x x2 y y2-x^2 y0 y2-x^2 y1 y2+x^2 y2^2+x x1 y y3+x^2 y0 y3-x^2 y1 y3)/(x2 y^2-x3 y^2-x y y2+x y y3)&&y2>y3)||(x<(x2 y-x3 y)/(y2-y3)&&y2<y3&&x0>(x1^2 y^2-x1 x2 y^2+x2^2 y^2-x1 x3 y^2+x x2 y y0-x x3 y y0-2 x x1 y y1+x x2 y y1+x x3 y y1+x^2 y1^2+x x1 y y2-2 x x2 y y2-x^2 y0 y2-x^2 y1 y2+x^2 y2^2+x x1 y y3+x^2 y0 y3-x^2 y1 y3)/(x2 y^2-x3 y^2-x y y2+x y y3)&&y>0)||(x0<(x1^2 y^2-x1 x2 y^2+x2^2 y^2-x1 x3 y^2+x x2 y y0-x x3 y y0-2 x x1 y y1+x x2 y y1+x x3 y y1+x^2 y1^2+x x1 y y2-2 x x2 y y2-x^2 y0 y2-x^2 y1 y2+x^2 y2^2+x x1 y y3+x^2 y0 y3-x^2 y1 y3)/(x2 y^2-x3 y^2-x y y2+x y y3)&&y<0&&x>(x2 y-x3 y)/(y2-y3)&&y2>y3)||(x0<(x1^2 y^2-x1 x2 y^2+x2^2 y^2-x1 x3 y^2+x x2 y y0-x x3 y y0-2 x x1 y y1+x x2 y y1+x x3 y y1+x^2 y1^2+x x1 y y2-2 x x2 y y2-x^2 y0 y2-x^2 y1 y2+x^2 y2^2+x x1 y y3+x^2 y0 y3-x^2 y1 y3)/(x2 y^2-x3 y^2-x y y2+x y y3)&&y2<y3&&x>(x2 y-x3 y)/(y2-y3)&&y>0)||(y<0&&y2<y3&&x>(x2 y-x3 y)/(y2-y3)&&x0>(x1^2 y^2-x1 x2 y^2+x2^2 y^2-x1 x3 y^2+x x2 y y0-x x3 y y0-2 x x1 y y1+x x2 y y1+x x3 y y1+x^2 y1^2+x x1 y y2-2 x x2 y y2-x^2 y0 y2-x^2 y1 y2+x^2 y2^2+x x1 y y3+x^2 y0 y3-x^2 y1 y3)/(x2 y^2-x3 y^2-x y y2+x y y3))]}}

Here's an image that's easier to see.那说大多数情况都有重复的变量，所以它比看起来要简单得多。（两个条件情况都是相同的，并且解是方程中的正或负情况，因为它解决了二次方程）。在代码表单中，这很容易看到：

var temp1 = (tx2 - tx3) / (y2 - y3);
var temp2 = (tx1 * tx1 + tx2 * tx2 + tx2 * (ty0 + ty1 - 2 * ty2) + tx1 * (-tx2 - tx3 - 2 * ty1 + ty2 + ty3) + tx3 * (ty1 - ty0) + ty1 * ty1 - ty0 * ty2 + ty2 * ty2 + ty0 * ty3 - ty1 * (ty2 + ty3)) / (tangent.y * (tx2 - tx3 - ty2 + ty3));
console.log ('Temp1: ', temp1, ' Temp2: ', temp2);
if
(
    tangent.x < temp1 &&
    (
        tangent.y < 0 && 
        (
            x0 < temp2 && y2 < y3 ||
            x0 > temp2 && y2 > y3
        ) ||
        tangent.y > 0 &&
        (
            x0 < temp2 && y2 > y3 ||
            x0 > temp2 && y2 < y3
        )
    ) ||
    tangent.x > temp1 &&
    (
        tangent.y < 0 &&
        (
            x0 < temp2 && y2 > y3 ||
            x0 > temp2 && y2 < y3
        ) ||
        tangent.y > 0 &&
        (
            x0 < temp2 && y2 < y3 ||
            x0 > temp2 && y2 > y3
        )
    )
)
{
    var tx0ty0 = tx0 - ty0;
    var ty1tx1 = ty1 - tx1;
    var tx2ty2 = tx2 - ty2;

    var temp6 = 2 * (tx0ty0 + tx2ty2) + 4 * ty1tx1;
    var temp5 = tx0ty0 + 3 * (tx2ty2 + ty1tx1) + ty3 - tx3;
    var temp7 = temp6 * temp6 - 4 * (tx0ty0 + ty1tx1) * temp5;
    var temp3 = Math.sqrt(temp7);
    var temp4 = 2 * temp5;
    var t1 = (temp6 - temp3) / temp4;
    var t2 = (temp6 + temp3) / temp4;
}

因此，我们所拥有的是两个可能的时间，因为问题是二次的。 Here's an interactive example in JS.该示例使用（0.707,0.707）的硬编码切线向量。（因此，在该坐标系中向下和向右指向的矢量）。

上述代码存在问题。即使纠正不等式和平方根计算中的浮点误差，也存在未明确定义的情况。就像当y2-y3为0时导致除以零的情况。这也有微妙之处，例如在某些情况下，temp4将具有非常接近于零的有效结果，或者产生正确的结果，或者由于浮点问题产生的t1和t2的值远大于预期。我特别注意到t1或t2为0.5的情况。正在考虑将其翻过对角线并再次解决可能会解决一些边缘情况，但我对这种方法并不自信。

我想要的是一种久经考验的方法，可能带有代码示例，或者在没有奇怪边缘情况的情况下解决这个问题。

Answer 1

问题可能有几种特殊情况......例如Bezier弧可以形成尖点或甚至可以是直线或单点（只考虑所有控制点相同）。没有特殊情况的单一直接公式是不可能的。

将问题假设为tx*y'(t) - ty*x'(t) = 0，其中x'(t)定义为a_x*t^2 + b_x*t + c_x（类似于y）并使用Maxima解决我

和

作为一般情况的两种解决方案。

只有当分母当然不为零时它们才有效，在这种情况下，等式的解决方案简化为：

此计算的Javascript实现是：

tvals = []; // Array of solutions
var den = 2*ax*ty - 2*ay*tx;
if (Math.abs(den) < 1E-10) {
    var num = ax*cy - ay*cx;
    var den = ax*by - ay*bx;
    if (den != 0) {
        var t = -num / den;
        if (t >= 0 && t <= 1) tvals.push(t);
    }
} else {
    var delta = (bx*bx - 4*ax*cx)*ty*ty + (-2*bx*by + 4*ay*cx + 4*ax*cy)*tx*ty + (by*by - 4*ay*cy)*tx*tx;
    var k = bx*ty - by*tx;
    tvals = [];
    if (delta >= 0 && den != 0) {
        var d = Math.sqrt(delta);
        var t0 = -(k + d) / den;
        var t1 = (-k + d) / den;
        if (t0 >= 0 && t0 < 1) tvals.push(t0);
        if (t1 >= 0 && t1 < 1) tvals.push(t1);
    }
}

您可以在http://raksy.dyndns.org/beztan.html中查看有效的互动示例，或在https://youtu.be/5PKQUtytrlQ中查看视频

计算沿着二维贝塞尔曲线的时间t等于给定的切向量

1 个答案: