Question

将一个三次贝塞尔曲线p1，p2，p3，p4投影到p1，p4线上。当p2或p3未投影到p1和p4之间的线段上时，曲线将从锚点凸出。有没有办法计算曲线的切线垂直于锚线的T值？

这也可以表示为找到T值，其中投影曲线离线段p1，p4的中心最远。当p2和p3投射到线段上时，解决方案分别为0和1。是否有解决更有趣案例的等式？

T值似乎仅取决于映射控制点距锚线段的距离。

我可以通过精炼猜测来确定价值，但我希望有更好的方法。

编辑：

从2d开始，p1，..，p4，值为x1，y1，...，x4，y4我根据Philippe的回答使用以下代码：

dx = x4 - x1;
dy = y4 - y1;
d2 = dx*dx + dy*dy;
p1 = ( (x2-x1)*dx + (y2-y1)*dy ) / d2;
p2 = ( (x3-x1)*dx + (y3-y1)*dy ) / d2;
tr = sqrt( p1*p1 - p1*p2 - p1 + p2*p2 );
t1 = ( 2*p1 - p2 - tr ) / ( 3*p1 - 3*p2 + 1 );
t2 = ( 2*p1 - p2 + tr ) / ( 3*p1 - 3*p2 + 1 );

在我看过的样本中，t2必须从1.0中减去才能正确。

Answer 1

假设你得到一条带有P0 = 0和P3 = 1的1D立方贝塞尔曲线，那么曲线就是：

P(t) = b0,3(t)*0 + b1,3(t)*P1 + b2,3(t)*P2 + b3,3(t)*1

其中bi,3(t)是学位3的Bernstein polynomials。然后我们要查找t的值P(t)是最小和最大的，所以我们推导出：

P'(t) = b1,3'(t)*P1 + b2,3'(t)*P2 + b3,3'(t)
      = (3 - 12t + 9t^2)*P1 + (6t - 9t^2)*P2 + 3t^2
      = 0

这有一个封闭形式但非平凡的解决方案。根据WolframAlpha的说法，当3P1 - 3P2 +1 != 0时：

t = [2*P1 - P2 +/- sqrt(P1^2-P1*P2-P1+P2^2)] / (3*P1 - 3*P2 + 1)

否则就是：

t = 3P1 / (6P1 - 2)

对于一般的n维三次BézierP0*，P1 *，P2 *，P3 *计算：

P1 = proj(P1*, P03*) / |P3* - P0*|
P2 = proj(P2*, P03*) / |P3* - P0*|

proj(P, P03*)是P0*与通过P和P0*的广告系列P3*投影点之间的签名距离。

（我没有检查过，所以请确认我的推理没有错。）

计算切线垂直于锚线的三次贝塞尔曲线T值

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