Question

我想整合(1/y)*(2/(1+(log(y))^2))从0到1.Wolfram alpha告诉我这应该是pi。但是当我在R中进行蒙特卡罗整合时，我在尝试超过10次后仍然获得3.00和2.99。这就是我所做的：

y=runif(10^6)
f=(1/y)*(2/(1+(log(y))^2))
mean(f)

我将确切的函数复制到wolfram alpha中以检查积分应该是pi

我试图通过查看它的意思并绘制历史图来检查我的y是否正确分发，似乎没问题。我的电脑有问题吗？

编辑：也许其他人可以复制我的代码并自行运行，以确认我的计算机不能正常运行。

Answer 1

好的，首先让我们从简单转换开始，log(x) -> x，制作积分

I = S 2/(1+x^2) dx, x in [0...infinity]

其中S是整合标志。

因此，函数1 /（1 + x ^ 2）单调且合理地快速下降。我们需要一些合理的PDF来对[0 ...无穷大]区间中的点进行采样，以便覆盖原始函数重要的大部分区域。我们将使用指数分布和一些我们将用于优化采样的自由参数。

I = S 2/(1+x^2)*exp(k*x)/k k*exp(-k*x) dx, x in [0...infinity]

因此，我们将k * e ^-kx作为[0 ... infinity]范围内正确规范化的PDF。要集成的功能是(2/(1+x^2))*exp(k*x)/k。我们知道从指数采样基本上是-log(U(0,1))，所以这样做的代码非常简单

k <- 0.05

# exponential distribution sampling from uniform vector
Fx <- function(x) {
    -log(x) / k
}

# integrand
Fy <- function(x) {
    ( 2.0 / (1.0 + x*x) )*exp(k*x) / k
}

set.seed(12345)

n <- 10^6L
s <- runif(n)

# one could use rexp() as well instead of Fx
# x <- rexp(n, k)
x <- Fx(s)

f <- Fy(x)

q <- mean(f)

print(q)

结果等于3.145954，种子22345结果等于3.135632，种子32345结果等于3.146081。

更新

回到原始功能[0 ... 1]非常简单

更新II

根据prof.Bolker建议改变

蒙特卡罗整合不起作用？

1 个答案: