Question

我正在阅读有关平衡二叉搜索树的内容。我发现了关于在这样的树中搜索的声明：

当你在具有n个元素的平衡二元搜索树中寻找某些东西时，它可能在最坏的情况下需要进行n / 2次比较。

为什么不是这样？

是不是我们要么看向树的右侧还是左侧，所以比较应该是n / 2？

Answer 1

Balanced Binary Search tree的搜索最坏情况由其高度决定。它是 O（高度），其高度为log2(n)，因为它是平衡的。

在最坏的情况下，我们寻找的节点位于一个叶子中或根本不存在，因此我们需要遍历树从根到其叶子 O（lgn） 而非 O（n / 2）

Answer 2

想象一下有10个节点的树：1,2,3,4,5..10。如果您正在寻找5，需要进行多少次比较？如果你寻找10怎么样？它实际上从来不是N / 2.

Answer 3

最糟糕的情况是你要搜索的元素是一个叶子（或者不包含在树中），然后比较的数量等于树高度log2（n）。

Answer 4

考虑n=7的以下平衡二叉树（这实际上是一个完整的二叉搜索树，但让我们不参考此讨论，因为完整的二叉搜索树也是一个平衡的二叉搜索树）。

          5                    depth 1 (root)
     /----+----\ 
    2           6              depth 2
 /--+--\     /--+--\ 
1       3   4       7          depth 3

为了搜索此树中的任何数字，最坏的情况是我们达到树的最大深度（例如，在这种情况下为3），直到我们终止搜索。在深度3处，我们进行了3次比较，因此，在任意深度l，我们将进行l次比较。

现在，对于一个完整的二元搜索树，如上所述，任意大小，我们可以保持1 + 2^(maxDepth-1)个不同的数字。现在，我们假设我们有一个完整的二叉搜索树，其中包含n个（不同的）数字。然后以下是

n = 1 + 2^(maxDepth-1)  (+)

因此

(+) <=> 2^(maxDepth-1) = n - 1 
    <=> log2(2^(maxDepth - 1)) = log2(n - 1)
    <=> maxDepth - 1 = log2(n - 1)

        => maxDepth = log2(n - 1) + 1

回想一下，maxDepth告诉我们最坏情况下的比较数，以便我们在完整的二叉树中找到一个数字（或者它不存在）。因此

worst case scenario, n nodes : log2(n-1) + 1

为了研究此搜索的渐近或限制行为，n可被视为足够大，因此log2(n) ~= log2(n-1)成立，随后，我们可以说算法的一个相当好的（紧的）上界是O(log2(n))。因此

在完整的二叉树中搜索的时间复杂度，对于n个节点，O(log2(n))

对于非完整的二分查找树，如上所述的类似推理导致相同的时间复杂度。请注意，对于非平衡搜索树，n节点的最差情况是n比较。

答案：从上面可以清楚地看出O(n/2)不是大小为n的二叉搜索树的时间复杂度的正确界限;然而，O(log2(n))是。（注意，先验可能是正确的绑定到足够大的n，但不是非常好/紧的！）

Answer 5

最佳平衡二叉树是AVL树。我说“最好的”是因为他们的修改操作是O（log（n））。如果树完全平衡，那么它的高度仍然较低（但是在O（log（n））中修改它是不可知的。

可以看出AVL树的最大高度小于

1.4404 log（n + 2） - 0.3277

因此，在AVL树中搜索的最坏情况是不成功的搜索，其来自根的路径在最深节点处结束。但是根据之前的结果，这条路径不能超过1.4404 log（n + 2） - 0.3277。

并且自1.4404 log（n + 2） - 0.3277＆lt; n / 2，该陈述是假的（假设n足够大）

Answer 6

让我们首先看到BST（二叉搜索树）属性，它告诉了..

-- root must be > then left_child 

-- root must be < right child


                  10
                 /  \
               8     12
              / \    /  \ 
             5  9   11   15
            / \          / \
           1   7        14  25

给定树的高度为3（最长路径10-14中的边数）。

假设您在给定的平衡BST中查询搜索14

          node--  10          14 > 10
                 /  \         go to right sub tree because all nodes  
               8     12       in right sub tree are > 10
              / \    /  \ 
             5  9   11   15    n = 11 total node
            / \          / \
           1   7        14  25  


        node--   12           14 > 12   
                /  \          again go to right sub tree..
              11   15
                   / \        n = 5   
                  14  25   


         node--  15       14 > 15 
                /  \      this time node value is > required value so 
               14  25       goto left sub tree
                           n = 3



             'node --  14       14 == 14 value find
                               n = 1'

从上面的例子中我们可以看到，在问题的每个比较大小（节点数）减半时，我们也可以说在每次比较时我们都切换到下一级，因此树的高度增加了1。

因为平衡BST的最大高度是log（N），在最坏的情况下我们需要去树的叶子因此我们采取log（N）步骤这样做。

因此，BST搜索的O是log（N）。

在平衡的二叉搜索树中搜索

6 个答案: