Question

我正在尝试理解Agda标准库的某些部分，我似乎无法弄清楚REL的定义。 FWIW这里是REL：

的定义

-- Binary relations

-- Heterogeneous binary relations

REL : ∀ {a b} → Set a → Set b → (ℓ : Level) → Set (a ⊔ b ⊔ suc ℓ)
REL A B ℓ = A → B → Set ℓ

我找不到任何在线解释这个的文档，这就是我在这里问的原因。这如何定义二元关系？

Answer 1

@ RodrigoRibeiro的答案解释了Level位，但是一旦你摆脱了宇宙级别，Set → Set → Set类型与二元关系有什么关系？

假设您有二元关系R ⊆ A × B。对其进行建模的命题方法是创建一些索引类型R : A → B → Set，以便对于任何a : A, b : B，R a b都有居民iff (a, b) ∈ R。因此，如果您想谈谈A和B上的所有关系，您必须讨论所有A - 和B - 索引类型，即您必须谈论RelationOverAandB = A → B → Set。

如果您希望抽象出关系的左手和右手基础类型，则意味着A和B的选择不再是固定的。所以你必须谈论REL，REL A B = A → B → Set。

那么REL的类型是什么？正如我们从REL A B示例中看到的那样，它选择A和B作为两个参数;其结果是类型 A → B → Set。

总结一下：给出

A : Set
B : Set

我们有

REL A B = A → B → Set

它本身的类型为Set（请记住，我们在这里忽略了Universe级别）。

因此，

REL : Set → Set → Set ∎

Answer 2

我想看一个例子比较容易：

import Level
open import Relation.Binary
open import Data.Nat.Base hiding (_≤_)

data _≤_ : REL ℕ ℕ Level.zero where
  z≤n : ∀ {n} -> 0 ≤ n
  s≤s : ∀ {n m} -> n ≤ m -> suc n ≤ suc m

类型签名相当于

data _≤_ : ℕ -> ℕ -> Set where

所以_≤_是两个自然数之间的关系。它包含所有数字对，使得第一个数字小于或等于第二个数字。以同样的方式我们可以写

open import Data.List.Base

data _∈_ {α} {A : Set α} : REL A (List A) Level.zero where
  here  : ∀ {x xs} -> x ∈ x ∷ xs
  there : ∀ {x y xs} -> x ∈ xs -> x ∈ y ∷ xs

类型签名相当于

data _∈_ {α} {A : Set α} : A -> List A -> Set where

_∈_是A类型元素与A类型元素列表之间的关系。

REL的宇宙单态变体本身就是一个二元关系：

MonoREL : REL Set Set (Level.suc Level.zero)
MonoREL A B = A → B → Set

Answer 3

要定义二元关系，我们需要两个集合，因此REL至少需要两种类型。 REL : ∀ {a b} → Set a → Set b → (ℓ : Level) → Set (a ⊔ b ⊔ suc ℓ)的类型：

REL

由于宇宙级别的东西，这种类型有点污染。如果您允许自己一些非正式性，可以禁用Universe级别（有关此here的更多信息）并将REL : Set -> Set -> Set写为：

REL

这是一种期望两种类型作为参数的类型。

在类型理论中使用宇宙是为了避免像集合论Russell's Paradox这样的悖论。

我不是类型理论专家，但Set a类型的解释可以概括为：

Set b和a分别是Universe级别b和⊔的参数类型。
运算符awk返回最多两个参数级别。

希望这可以帮助你。

如何解释agda中的REL

3 个答案: