Question

在大O符号中，我们总是说我们应该忽略大多数情况下的常数因素。也就是说，而不是写作，

3N ^ 2-100n + 6

我们几乎总是满意

N ^ 2

因为该术语是等式中增长最快的术语。

但我发现许多算法课程开始将功能与许多术语进行比较

2n ^ 2 + 120n + 5 = n ^ 2的大O

然后在建议最后忽略低阶项之前，为那些长函数找到c和n0。

我的问题是，如果用多个术语来理解和诠释这些功能，我会得到什么？在本月之前，我很清楚理解O（1），O（n），O（LOG（n）），O（N ^ 3）的含义。但是，如果我只依靠这个通常使用的函数，我会错过一些重要的概念吗？如果我跳过分析这些长函数，我会想念什么？

Answer 1

让我们首先描述当我们说f(n) is in O(g(n))：

时我们的意思

...如果我们能找到一个常数c，我们可以说f（n）是O（g（n）） f（n）小于c·g（n）或全部n大于n0，即全部 N'GT; N0

在等式中：我们需要找到一个一组常量（c，n0）来实现

f(n) < c · g(n), for all n > n0,                        (+)

现在，f(n) is in O(g(n))有时以差异形式呈现的结果，例如如f(n) = O(g(n))或f(n) ∈ O(g(n))，但声明是相同的。因此，根据您的问题，声明2n^2+120n+5 = big O of n^2只是：

f(n) = 2n^2 + 120n + 5

a result after some analysis: f(n) is in O(g(n)), where

    g(n) = n^2

好的，在这一过程中，我们会在我们想要渐近分析的函数中查看常量项，让我们在教育上看一下它，然后使用你的例子。

任何大O分析的结果都是函数的渐近行为，除了一些非常特殊的情况外，常量项对此行为没有任何影响。然而，常数因子可以影响如何选择常数对（c，n0），用于表示某些函数f（n）和g（n）的f（n）在O（g（n））中，即，用于表示（+）成立的非唯一常数对（c，n0）。我们可以说常量项对我们的分析结果没有影响，但它会影响我们派生这个结果。

让我们看看你的功能以及另一个相关的功能

f(n) = 2n^2 + 120n + 5                                        (x)
h(n) = 2n^2 + 120n + 22500                                    (xx)

使用与this thread类似的方法，对于f(n)，我们可以显示：

linear term: 

    120n < n^2 for n > 120 (verify: 120n = n^2 at n = 120)    (i)

constant term:

    5 < n^2 for e.g. n > 3 (verify: 3^2 = 9 > 5)              (ii)

这意味着，如果我们将120n中的5和n^2替换为Given that n > 120, we have: 2n^2 + n^2 + n^2 = 4n^2 > {by (ii)} > 2n^2 + 120n + 5 = f(n) (iii)，我们可以声明以下不等式结果：

(c, n0) = (4, 120)

从（iii）开始，我们可以选择f(n)，然后（iii）显示这些常量符合g(n) = n^2 result: f(n) is in O(n^2)的{+}，因此

h(n)

现在，对于linear term (same as for f(n)) 120n < n^2 for n > 120 (verify: 120n = n^2 at n = 120) (I) constant term: 22500 < n^2 for e.g. n > 150 (verify: 150^2 = 22500) (II)，我们类似地：

120n

在这种情况下，我们将22500以及n^2替换为n > 150，但我们需要大于n的约束要保持这些，即Given that n > 150, we have: 2n^2 + n^2 + n^2 = 4n^2 > {by (ii)} > 2n^2 + 120n + 5 = h(n) (III)。因此，我们有以下几点：

f(n)

与(c, n0) = (4, 150)相同，我们可以在这里选择h(n)，然后（III）显示这些常量满足{+ 1} g(n) = n^2，{{1}因此

result: h(n) is in O(n^2)

因此，我们对函数f（n）和h（n）都有相同的结果，但是我们必须使用不同的常数（c，n0）来表示这些（即，稍微不同的推导）。最后请注意：

当然，常数（c，n0）=（4,150）（用于h（n）分析）也有效，表明f（n）在O（n ^ 2）中，即（+）成立对于f（n），其中g（n）= n ^ 2.
然而，不是相反的：（c，n0）=（4,120）不能用于表示（+）适用于h（n）（g（n）= n ^ 2）。

本讨论的核心是：

只要你看一下n足够大的值，你就能够将关系中的常数项描述为constant < dominantTerm(n)，在我们的例子中，我们看一下关系的关系占主导词n^2。
函数的渐近行为（除了一些非常特殊的情况之外）都不依赖于常数项，所以我们也可以跳过查看它们。但是，对于某些函数的渐近行为的严格证明，我们还需要考虑常数项。

Answer 2

你的工作中有过中间步吗？这就是你计算一个大O的可能性，很可能你不确定最高阶项是什么，因此你跟踪它们然后确定哪个复杂类最终有意义。还有一些事情要说明，为什么可以忽略低阶项。

采用一些图算法，如最小生成树或最短路径。现在，只需查看一个算法，您就知道最高项将是什么？我知道我不会，所以我会追踪算法并收集一堆术语。

如果您想要其他示例，请考虑排序算法以及是否要记住所有复杂性。冒泡排序，外壳排序，合并排序，快速排序，基数排序和堆排序是一些比较常见的算法。您可以记住算法和复杂性，也可以只记住算法，如果您知道如何跟踪它们，则可以从伪代码中获得复杂性。

低阶词在大O符号中的作用

2 个答案: