在大O符号中,我们总是说我们应该忽略大多数情况下的常数因素。也就是说,而不是写作,
3N ^ 2-100n + 6
我们几乎总是满意
N ^ 2
因为该术语是等式中增长最快的术语。
但我发现许多算法课程开始将功能与许多术语进行比较
2n ^ 2 + 120n + 5 = n ^ 2的大O
然后在建议最后忽略低阶项之前,为那些长函数找到c和n0。
我的问题是,如果用多个术语来理解和诠释这些功能,我会得到什么?在本月之前,我很清楚理解O(1),O(n),O(LOG(n)),O(N ^ 3)的含义。但是,如果我只依靠这个通常使用的函数,我会错过一些重要的概念吗?如果我跳过分析这些长函数,我会想念什么?
答案 0 :(得分:3)
让我们首先描述当我们说f(n) is in O(g(n))
:
...如果我们能找到一个常数c,我们可以说f(n)是O(g(n)) f(n)小于c·g(n)或全部n大于n0,即全部 N'GT; N0
在等式中:我们需要找到一个一组常量(c,n0)来实现
f(n) < c · g(n), for all n > n0, (+)
现在,f(n) is in O(g(n))
有时以差异形式呈现的结果,例如如f(n) = O(g(n))
或f(n) ∈ O(g(n))
,但声明是相同的。因此,根据您的问题,声明2n^2+120n+5 = big O of n^2
只是:
f(n) = 2n^2 + 120n + 5
a result after some analysis: f(n) is in O(g(n)), where
g(n) = n^2
好的,在这一过程中,我们会在我们想要渐近分析的函数中查看常量项,让我们在教育上看一下它,然后使用你的例子。
任何大O分析的结果都是函数的渐近行为,除了一些非常特殊的情况外,常量项对此行为没有任何影响。然而,常数因子可以影响如何选择常数对(c,n0),用于表示某些函数f(n)和g(n)的f(n)在O(g(n))中,即,用于表示(+)成立的非唯一常数对(c,n0)。我们可以说常量项对我们的分析结果没有影响,但它会影响我们派生这个结果。
让我们看看你的功能以及另一个相关的功能
f(n) = 2n^2 + 120n + 5 (x)
h(n) = 2n^2 + 120n + 22500 (xx)
使用与this thread类似的方法,对于f(n)
,我们可以显示:
linear term:
120n < n^2 for n > 120 (verify: 120n = n^2 at n = 120) (i)
constant term:
5 < n^2 for e.g. n > 3 (verify: 3^2 = 9 > 5) (ii)
这意味着,如果我们将120n
中的5
和n^2
替换为Given that n > 120, we have:
2n^2 + n^2 + n^2 = 4n^2 > {by (ii)} > 2n^2 + 120n + 5 = f(n) (iii)
,我们可以声明以下不等式结果:
(c, n0) = (4, 120)
从(iii)开始,我们可以选择f(n)
,然后(iii)显示这些常量符合g(n) = n^2
result: f(n) is in O(n^2)
的{+},因此
h(n)
现在,对于linear term (same as for f(n))
120n < n^2 for n > 120 (verify: 120n = n^2 at n = 120) (I)
constant term:
22500 < n^2 for e.g. n > 150 (verify: 150^2 = 22500) (II)
,我们类似地:
120n
在这种情况下,我们将22500
以及n^2
替换为n > 150
,但我们需要大于n的约束要保持这些,即Given that n > 150, we have:
2n^2 + n^2 + n^2 = 4n^2 > {by (ii)} > 2n^2 + 120n + 5 = h(n) (III)
。因此,我们有以下几点:
f(n)
与(c, n0) = (4, 150)
相同,我们可以在这里选择h(n)
,然后(III)显示这些常量满足{+ 1} g(n) = n^2
,{{1}因此
result: h(n) is in O(n^2)
因此,我们对函数f(n)和h(n)都有相同的结果,但是我们必须使用不同的常数(c,n0)来表示这些(即,稍微不同的推导)。最后请注意:
本讨论的核心是:
n
足够大的值,你就能够将关系中的常数项描述为constant < dominantTerm(n)
,在我们的例子中,我们看一下关系的关系占主导词n^2
。 答案 1 :(得分:2)
你的工作中有过中间步吗?这就是你计算一个大O的可能性,很可能你不确定最高阶项是什么,因此你跟踪它们然后确定哪个复杂类最终有意义。还有一些事情要说明,为什么可以忽略低阶项。
采用一些图算法,如最小生成树或最短路径。现在,只需查看一个算法,您就知道最高项将是什么?我知道我不会,所以我会追踪算法并收集一堆术语。
如果您想要其他示例,请考虑排序算法以及是否要记住所有复杂性。冒泡排序,外壳排序,合并排序,快速排序,基数排序和堆排序是一些比较常见的算法。您可以记住算法和复杂性,也可以只记住算法,如果您知道如何跟踪它们,则可以从伪代码中获得复杂性。