假设给出了多项式方程组
F_1（X_1，...，X_K）= 0
...
F_N（X_1，...，X_K）= 0，
其中k <1000且n~20000。这里假设多项式方程的参数是有噪声的，因此由于系统超定，我们不能期望找到单个解（X_1，...，X_k）。 我现在正在寻找一种有效的算法（或者可能已经实现，理想情况下在R中），我可以用它来解决上述维度的噪声多项式系统。
答案 0 :(得分：1)
一种方法是找到单个多项式f_1（）^ 2 + f_2（）^ 2 + .... f_n（）^ 2的最小值。由于方形，只有当每个单独的f_i（）接近零时，它才会很小。如果可以对噪声进行建模，使得计算f_i（）时得到的误差是正态分布的，并且对于所有f_i（）具有相同的方差，则这也具有良好的统计特性。
不幸的是，你说错误在多项式的参数中。假设您获得X_i，并且您需要找到多项式系数中的误差。你可以通过找到多项式的每个系数的小修正来做到这一点，这使得答案变为零，选择修正以最小化它们的平方和。您可以为每个多项式单独执行此操作。因为X_i是已知的，所以这相当于最小化校正的平方和，受限于校正中的线性函数提供的值足够大以使多项式产生零。我认为你可以使用拉格朗日乘数解决这个问题，如果你这样做，并采取解决方案，看看这个解决方案的校正平方和是什么，你得到的答案是约束的平方在线性函数上，除以线性约束系数的平方和，在这种情况下，由假定的X_i的值产生。
如果您现在使用此函数并尝试通过选择X_i来最小化它，那么您将最小化有理函数的总和，每个f_i（）一个。如果f_i（）都具有相似的形式，则除数将全部相同，这可能会使其变得不那么可怕。也许您可以使用打包的数字微型计算机找到最小值。一个可能的出发点是我在第一段中提到的更简单问题的解决方案 - 最小值为f_1（）^ 2 + f_2（）^ 2 + ...