使用python和FFT计算均方位移

Question

给定一个二维数组，其中每一行代表一个粒子的位置矢量，如何有效地计算均方位移（使用FFT）？ 均方位移定义为

其中r（m）是行m的位置向量，N是行数。

Answer 1

msd的以下直接方法有效，但它是O（N ** 2）（我改编了stackoverflow answer by user morningsun的代码）

def msd_straight_forward(r):
    shifts = np.arange(len(r))
    msds = np.zeros(shifts.size)    

    for i, shift in enumerate(shifts):
        diffs = r[:-shift if shift else None] - r[shift:]
        sqdist = np.square(diffs).sum(axis=1)
        msds[i] = sqdist.mean()

    return msds

但是，我们可以使用FFT更快地编写代码。以下考虑因素和生成的算法来自this paper，我将展示如何在python中实现它。 我们可以按以下方式拆分MSD

因此，S_2（m）只是位置的自相关。注意，在一些教科书中，S_2（m）表示为自相关（约定A），而在一些S_2（m）*（N-m）中表示为自相关（约定B）。 根据Wiener-Khinchin定理，函数的功率谱密度（PSD）是自相关的傅里​​叶变换。 这意味着我们可以计算信号的PSD并对其进行傅立叶反转，以获得自相关（在约定B中）。对于离散信号，我们得到循环自相关。 但是，通过对数据进行零填充，我们可以得到非循环自相关。算法看起来像这样

def autocorrFFT(x):
  N=len(x)
  F = np.fft.fft(x, n=2*N)  #2*N because of zero-padding
  PSD = F * F.conjugate()
  res = np.fft.ifft(PSD)
  res= (res[:N]).real   #now we have the autocorrelation in convention B
  n=N*np.ones(N)-np.arange(0,N) #divide res(m) by (N-m)
  return res/n #this is the autocorrelation in convention A

对于术语S_1（m），我们利用了这样一个事实，即可以找到（N-m）* S_1（m）的递归关系（这在4.2节中的paper中有解释）。 我们定义

通过

找到S_1（m）

这产生以下均方位移代码

def msd_fft(r):
  N=len(r)
  D=np.square(r).sum(axis=1) 
  D=np.append(D,0) 
  S2=sum([autocorrFFT(r[:, i]) for i in range(r.shape[1])])
  Q=2*D.sum()
  S1=np.zeros(N)
  for m in range(N):
      Q=Q-D[m-1]-D[N-m]
      S1[m]=Q/(N-m)
  return S1-2*S2

你可以比较msd_straight_forward（）和msd_fft（）并发现它们产生相同的结果，尽管msd_fft（）对于大N来说更快

小基准：使用

生成轨迹

r = np.cumsum(np.random.choice([-1., 0., 1.], size=(N, 3)), axis=0)

对于N = 100.000，我们得到

$ %timeit msd_straight_forward(r)
1 loops, best of 3: 2min 1s per loop

$ %timeit msd_fft(r)
10 loops, best of 3: 253 ms per loop

Answer 2

使用numpy.cumsum还可以避免在S1计算中循环超出范围（N）：

sq = map(sum, map(np.square, r))
s1 = 2 * sum(sq) - np.cumsum(np.insert(sq[0:-1], 0, 0) + np.flip(np.append(sq[1:], 0), 0))