最有效的座位安排

Question

有n（n < 1000）个朋友组，其中组的大小由数组A[]（2 <= A[i] < 1000）表征。存在表格，使得它们一次可以容纳r(r>2)个人。每个人座位所需的最小桌面数是多少，但要受到限制，每个人应该有一个坐在他/她桌旁的小组中的另一个人。

我想的方法是将每个小组分成三三两两的大小并尝试解决这个问题，但是有很多种方法可以将数字n分成三三两组而不是全部它们可能是最佳的。

Answer 1

混合整数编程模型是否计数？

关于这个表述的一些注释：

• 我使用随机数据组成小组。
• x（i，j）是坐在桌子j的第i组人数。
• x（i，j）是一个半整数变量，即：它是一个整数变量，其值为零或LO和UP之间。并非所有MIP求解器都提供半连续和半整数变量，但它可能会派上用场。在这里，我用它来强制执行同一组中至少有2个人需要坐在桌旁。如果求解器不提供这些类型的变量，我们也可以使用其他二进制变量来构造此构造。
• y（j）是二进制变量（0或1），表示是否使用了表。
• 容量方程有点聪明：如果不使用表（y（j）= 0），其容量将减少到零。
• 选项optcr = 0表示我们想要解决最优问题。对于大而棘手的问题，我们可能希望停止以5％说出来。
• 顺序方程确保我们从表1开始填充表。这也减少了问题的对称性，并可能加快解决方案的时间。
• 上述模型（具有200个组和200个可能使用的表）生成具有600个方程（行）和40k个变量（列）的MIP问题。有37k整数变量。通过良好的MIP求解器，我们可以在不到一分钟的时间内找到经过验证的最佳解决方案（使用150个表）。
• 请注意，这肯定不是背包问题（如另一个答案所示 - 背包问题只有一个约束条件）但它类似于装箱问题。

Answer 2

与NP完成的背包问题相同（参见https://en.wikipedia.org/wiki/Bin_packing_problem）。因此找到最佳解决方案非常困难。

大部分时间都有效的启发式方法：

1. 根据尺寸减小对组进行排序。

2. 对于每个组，将其放在占空间最小的表中，但仍可以容纳此组。

Answer 3

您的方法是可行的。如果对于给定数量的表存在解决方案，则存在一种解决方案，其中您将每个组拆分为若干个二进制数和一些数量的三个。首先，将每组奇数的三个分开。你留下了一堆规模均匀的群体。接下来，将每个大小不能被6整除的组分开两次。忘记它是一个更大的群体;把它分成几组六个。

此时，您已将所有群组分成两个数量，一些数量的三个，以及一些数量的六个。给每个奇数大小的表一个三，根据需要拆分六个;现在所有表都有均匀的大小。所有剩下的六个人现在可以分成两个人并随意坐着。