将一个多边形投影到一个平面上的一般问题得到了广泛的解决，但我想知道是否有人能为我的具体案例提出一些建议。
我在3空间中有一个平面多边形P，我想通过与单位向量u正交的原点将它投影到平面上。 P的顶点和u的坐标是我拥有的唯一数据（所有w.r.t.R ^ 3的标准基础）。
但是，我不仅仅想要投影坐标。我实际上想找到与u正交的平面的标准正交基，然后在这个新的基础上找到投影顶点的坐标。
基础本身无关紧要，只要它是正交的。所以我真的需要在GNU科学库的框架内做两件事：
（1）找到与单位向量u正交的均匀平面的两个标准正交基矢量。
（2）在此基础上找到P的顶点投影到平面上的坐标。
有关如何使用gsl执行此操作的任何想法？
答案 0 :(得分：2)
我没有使用过GSL，但你只需要使用点积，交叉积和规范化来得到结果。
（1）选择不是 u 的倍数的任何向量 r 。设 v = r 和 u 的规范化交叉积。让 w = u 和 v 的交叉积。您的标准正交基矢量是 v 和 w 。
（2）要将顶点 a 投影到此平面，它是（ a 点 v ）* v +（ a 点 w ）* w 。 （ v 坐标为 a 点 v ， w 坐标为 a 点的瓦特）
为了帮助考虑其工作原理，请选择 u =＆lt; 1,0,0＆gt;并且 r =＆lt; 3,0,5＆gt;开始，并可视化三维矢量。
答案 1 :(得分：1)
问题是缺少一条信息，即一个基础向量的方向。问题是基础向量必须是正交的（即单位长度和彼此垂直），当然垂直于u（因为它们位于垂直于u的平面内），但仍然可以使它们自由地绕着你旋转到任何角度
答案 2 :(得分：1)
计算向量v和w，使得u，v，w是标准正交基础：
void make_basis3( const double* u, double* v, double* w)
{ double h[3];
double d;
double s = ( u[0] > 0.0) ? 1.0 : -1.0;
double f = s/(s+u[0]);
h[0] = u[0]+s; h[1] = u[1]; h[2] = u[2];
d = f*h[1]; v[0] = -d*h[0]; v[1] = 1.0-d*h[1]; v[2] = -d*h[2];
d = f*h[2]; w[0] = -d*h[0]; w[1] = -d*h[1]; w[2] = 1.0-d*h[2];
}
这里假设你的长度为1。
这里发生的是前几行计算向量h 基于h的住户矩阵（即Q = I - 2 * h * h'/ h'* h其中'是转置） 将u映射到（+ -1,0,0），最后两行将此矩阵应用于（0,1,0）以获得v 到（0,0,1）得到w。由于Q是正交且对称的，因此u，v，w是标准正交基。
我认为这种方法比使用交叉产品更可取，因为：它更短，效率更高，不易出现舍入错误，并且可以推广到更高的维度。
如果P是一个点，则P.v和P.u是投影到与u正交的平面上的P的坐标，通过原点。