Question

我遇到了这个问题：

给出a，b和c三自然数（例如1 <= a，b，c <= 10 ^ 9），你应该找到数字a ^ b ^ c的最后一位数。“

我首先想到的是用于提高功率n的O（log n）算法。

var xmlPaths = new[]
{
    HttpContext.Current.Server.MapPath("~/bin/Path.To.FirstNamespace.XML"),
    HttpContext.Current.Server.MapPath("~/bin/Path.To.OtherNamespace.XML")
};
var documentationProvider = new XmlDocumentationProvider(xmlPaths);
config.SetDocumentationProvider(documentationProvider);

显然，一些基本的数学可能会有所帮助，比如“最后一位数字”：

   int acc=1; //accumulator
   while(n>0) {
        if(n%2==1)
            acc*=a;
        a=a*a;
        n/=2;
    }

其中n％4是除法的剩余部分n / 4

简而言之，我试图将这些结合起来，但我无法顺利进行。

有些帮助真的会被贬低。

Answer 1

问题是b^c可能非常大。因此，您希望在使用标准模幂运算之前减少它。

您可以注意到a^(b^c) MOD 10最多可以包含10个不同的值。

由于鸽笼原则，对于某些p，会有r个a^r MOD 10 = a^(p+r) MOD 10 p <= 10 r <= 10：

这意味着任何a^r MOD 10 = a^r*a^p MOD 10 = (a^r*a^p)*a^p MOD 10 = ... = a^(r+q*p) MOD 10：

n = s+r+q*p

对于任何s < p，a^n MOD 10 = a^s*a^(r+q*p) MOD 10 = a^s*a^r MOD 10 = a^((n-r) MOD p)*a^r MOD 10都有：

n= (b^c)

您只需替换上一个等式中的(b^c-r) MOD p即可。

您只需计算p <= 10 a^((b^c-r) MOD p)*a^r MOD 10哪里可以轻松完成，然后计算""。

Answer 2

就像我在评论中提到的那样，这与智能算法没什么关系。使用一些基本数论可以完全减少问题。这将产生O（1）算法。

中国剩余定理说，如果我们知道一些数x模2和模5，我们知道它模10。所以找到一个^ b ^ c模10可以简化为找到一个^ b ^ c模2和a ^ b ^ c modulo 5.费马的小定理说对于任何素数p，如果p不除a，则a ^（p-1）= 1（mod p），所以a ^ n = a ^ （n mod（p-1））（mod p）。如果p确实除了a，则显然对于任何n> 1，^ n = 0（mod p）。注意，对于任何n> 0，x ^ n = x（mod 2），所以a ^ b ^ c = a（mod 2）。

剩下的就是找到一个^ b ^ c mod 5，它减少到找到b ^ c mod 4.不幸的是，我们既不能使用中文余数定理，也不能使用Fermat的小定理。但是，mod 4只有4种可能性，所以我们可以单独检查它们。如果我们从b = 0（mod 4）或b = 1（mod 4）开始，那么当然b ^ c = b（mod 4）。如果我们有b = 2（mod 4）那么很容易看出如果c = 1则b ^ c = 2（mod 4），并且如果c> 1，则b ^ c = 0（mod 4）。 1.如果b = 3（mod 4），那么如果c是偶数则b ^ c = 3，如果c是奇数则b ^ c = 1。这给了我们任何b和c的b ^ c（mod 4），然后给我们一个^ b ^ c（mod 5），所有这些都是在恒定的时间内。

最后用^ b ^ c = a（mod 2）我们可以使用中国余数定理来找到^ b ^ c（mod 10）。这需要（x（mod 2），y（mod 5））和z（mod 10）之间的映射。中国剩余定理只告诉我们这种映射是双射的，它并没有告诉我们如何找到它。但是，只有10个选项，因此可以在一张纸上或使用一个小程序轻松完成。一旦我们找到这个映射，我们只需将它存储在一个数组中，我们就可以在O（1）中完成整个计算。

顺便说一下，这将是我在python中实现的算法：

# this table only  needs to be calculated once
# can also be hard-coded
mod2mod5_to_mod10 = [[0 for i in range(5)] for j in range(2)]
for i in range(10):
    mod2mod5_to_mod10[i % 2][i % 5] = i

[a,b,c] = [int(input()) for i in range(3)]

if a % 5 == 0:
    abcmod5 = 0
else:
    bmod4 = b % 4
    if bmod4  == 0 or bmod4 == 1:
        bcmod4 = bmod4 
    elif bmod4 == 2:
        if c == 1:
            bcmod4 = 2
        else:
            bcmod4 = 0
    else:
        if c % 2 == 0:
            bcmod4 = 1
        else:
            bcmod4 = 3

    abcmod5 = ((a % 5)**bcmod4) % 5

abcmod2 = a % 2

abcmod10 = mod2mod5_to_mod10[abcmod2][abcmod5]

print(abcmod10)

^ b ^ c的最后一位数字

2 个答案: