Question

我意识到已经有几个主题涉及到这一点。但是我的问题不是关于如何构建这样的算法，而是要查找我在实现中犯了什么错误，从而导致数十个测试中的一个失败。

挑战：随机提供std::list<int>个随机数，确定x1 ^ (x2 ^ (x3 ^ (... ^ xn)))的最后一位。这些数字足够大，或者列表足够长，因此结果是天文数字，无法用传统方法处理。

我的解决方案：我选择使用模块化算术方法。简而言之，这些巨大功效的最后一位与降低的功效相同，后者由底数的第一位（模数10）组成，升至指数的最后两位数（模数100）。幂序列中的单位最多以4的模式重复，因此我们可以使用mod 4减少指数，将其偏移4以避免余数为0。至少，这是我到目前为止对以下内容的理解资源：brilliant / quora。

#include <list>
#include <cmath>

int last_digit(std::list<int> arr)
{
  // Break conditions, extract last digit
  if (arr.size() == 1) return arr.back() % 10;
  if (arr.size() == 0) return 1;

  // Extract the last 2 items in the list
  std::list<int> power(std::prev(arr.end(), 2), arr.end());
  arr.pop_back(); arr.pop_back();

  // Treat them as the base and exponent for this recursion
  long base = power.front(), exponent = power.back(), next;

  // Calculate the current power
  switch (exponent)
  {
    case  0: next = 1; break;
    case  1: next = base % 100; break;
    default: next = (long)std::pow(base % 10, exponent % 4 + 4) % 100;
  }
  if (base != 0 && next == 0) next = 100;

  // Add it as the last item in the list
  arr.push_back(next);

  // Recursively deal with the next 2 items in the list
  return last_digit(arr);
}

随机例子：123,232 ^{694,027 ^140,249}≡8

第一次复赛：{ 123'232, 694'027, 140'249 }
- 基数：694,027 mod 10 = 7
- 指数：140,249 mod 4 + 4 = 5
- 下一个：7 ⁵ = 16,807 mod 100 = 7
第二次递归：{ 123'232, 7 }
- 基数：123,232 mod 10 = 2
- 指数：7 mod 4 + 4 = 7
- 下一个：2 ⁷ = 128 mod 100 = 28
第三次递归：{ 28 }
- 返回：28 mod 10 = 8

问题：这适用于数十个测试用例（如上面的一个），但对于2个^{2 ^{101 ²}≡6.

手动：}

101 ² = 10,201
2 ^10,201 mod 4 = 0，+ 4 = 4
2 ⁴ = 16 // 6 -correct

但是，遵循以下算法：

第一次递归：{ 2, 2, 101, 2 }
- 基数：101 mod 10 = 1
- 指数：2 mod 4 + 4 = 6
- 下一个：1 ⁶ = 1 mod 100 = 1
第二个递归：{ 2, 2, 1 }（我们已经可以看到结果将是4）
- 指数= 1，下一个= 2 mod 100 = 2
第三次递归：{ 2, 2 }
- 基数：2 mod 10 = 2
- 指数：2 mod 4 + 4 = 6
- 下一个：2 ⁶ = 64 mod 100 = 64
第四次递归：{ 64 }
- 返回64 mod 10 = 4 // -wrong

从某种意义上说，我了解发生了什么，但我不确定为什么在这种特定情况下发生，而不是在其他数十种情况下发生。我承认我是在这里推销我的数学知识的极限，但是我得到的印象是我只是迷失了一小部分。

我认为这篇文章足够长而艰巨。如果有人对我要去哪里出错有任何见解，我将感谢一些提示。

Answer 1

关于一个非常大的数的模有很多问题，那里的许多sol'ns基本上都是基于基本数论的。 Fermat的小定理，中国余数定理和Euler的Phi函数都可以帮助您解决此类问题。我建议您阅读Victor Shoup撰写的“数论和代数的计算导论”。它可以帮助您更好地简化和更好地解决与数论相关的问题。 Here's the link for the book in case you'll browse this answer.

C ++随机幂序列的最后一位

1 个答案: